Задача:

Випадкова величина \(\xi\) має розподіл Пуассона з параметром \(\lambda\). Випадкова величина \(\eta\) визначається як \(\eta = \cos(\pi \xi)\). Знайти \(\lambda\), якщо відомо, що \(P(\eta = 1) = 2P(\eta = -1)\).

Розв’язок

Випадкова величина \(\xi\) приймає цілі невід'ємні значення \(\{0, 1, 2, 3, ...\}\) з ймовірностями \(P(\xi = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\), де \(\lambda > 0\). Випадкова величина \(\eta = \cos(\pi \xi)\) набуває значень \(\{1, -1\}\), де:

• \(\eta = 1\), якщо \(\xi\) - парне число (включаючи 0),
• \(\eta = -1\), якщо \(\xi\) - непарне число.

Тоді \[P(\eta = 1) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\xi = 2k) = e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(2k)!} = e^{-\lambda} \cosh(\lambda) = e^{-\lambda}\left( \frac{e^{\lambda} + e^{-\lambda}}{2} \right) = \frac{1+e^{-2\lambda}}{2},\] \[P(\eta = -1) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\xi = 2k+1) = e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!} = e^{-\lambda} \sinh(\lambda) = e^{-\lambda}\left( \frac{e^{\lambda} - e^{-\lambda}}{2} \right) = \frac{1-e^{-2\lambda}}{2}.\] За умовою \(P(\eta = 1) = 2P(\eta = -1)\), тобто \[\frac{1+e^{-2\lambda}}{2} = 2\left( \frac{1-e^{-2\lambda}}{2} \right)\] \[1 + e^{-2\lambda} = 2 - 2e^{-2\lambda}\] \[3e^{-2\lambda} = 1\] \[e^{-2\lambda} = \frac{1}{3}\] \[-2\lambda = \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3)\] \[\lambda = \frac{\ln(3)}{2}\]

Відповідь: \(\lambda = \dfrac{\ln(3)}{2}\).