Задача:

Випадкова величина \(\xi\) має розподіл Пуассона з параметром \(\lambda = 2\). Випадкова величина \(\eta\) визначається як \(\eta = \cos(\pi \xi)\). Скласти ряд розподілу випадкової величини \(\eta\).

Розв’язок

Оскільки \(\xi\) має розподіл Пуассона, то \(P(\xi = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\), де \(\lambda = 2\) і \(k = 0, 1, 2, ...\).

Випадкова величина \(\eta = \cos(\pi \xi)\) може набувати лише двох значень:

• \(\eta = 1\), якщо \(\xi\) — парне число (включаючи 0),
• \(\eta = -1\), якщо \(\xi\) — непарне число.

Тоді нам потрібно обчислити ймовірності \(P(\eta = 1)\) та \(P(\eta = -1)\).

\[P(\eta = 1) = P(\xi \text{ парне}) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\xi = 2k) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-2} 2^{2k}}{(2k)!} = e^{-2} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{4^k}{(2k)!}.\] Використаємо розклад в ряд Тейлора для косинуса гіперболічного: \[\cosh(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}.\] Тоді \[P(\eta = 1) = e^{-2} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{4^k}{(2k)!} = e^{-2} \cosh(2) = e^{-2} \frac{e^2 + e^{-2}}{2} = \frac{1 + e^{-4}}{2}.\]

\[P(\eta = -1) = P(\xi \text{ непарне}) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\xi = 2k+1) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-2} 2^{2k+1}}{(2k+1)!} = e^{-2} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2 \cdot 4^{k}}{(2k+1)!}.\] Використаємо розклад в ряд Тейлора для синуса гіперболічного: \[\sinh(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.\] Тоді \[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{4^{k}}{(2k+1)!} = \frac{\sinh(2)}{2}.\] \[P(\eta = -1) = e^{-2} 2\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{4^{k}}{(2k+1)!} = e^{-2} 2\cdot \frac{\sinh(2)}{2} = e^{-2} \sinh(2) = e^{-2} \frac{e^{2} - e^{-2}}{2} = \frac{1 - e^{-4}}{2}.\]

Відповідь: ряд розподілу для \(\eta\): \(\begin{array}{c|c|c} x_k & -1 & 1 \\ \hline p_k & \dfrac{1 - e^{-4}}{2} & \dfrac{1 + e^{-4}}{2} \end{array}\)