Задача:

Випадкова величина \(\xi\) набуває цілих значень від -5 до 5 з рівними ймовірностями. Скласти ряд розподілу випадкової величини \(\eta = \xi^2\).

Розв’язок

Випадкова величина \(\xi\) приймає значення \(\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Кількість можливих значень дорівнює 11. Оскільки ймовірності рівні, то \(P(\xi = k) = \frac{1}{11}\) для кожного \(k\) від -5 до 5.

Випадкова величина \(\eta = \xi^2\) приймає значення \(\{0, 1, 4, 9, 16, 25\}\). Зауважимо, що \(P(\eta = k^2) = P(\xi = k) + P(\xi = -k)\) для \(k \neq 0\), і \(P(\eta = 0) = P(\xi = 0)\).

Обчислимо ймовірності для кожного значення \(\eta\): \[P(\eta = 0) = P(\xi = 0) = \frac{1}{11}.\] \[P(\eta = 1) = P(\xi = 1) + P(\xi = -1) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}.\] \[P(\eta = 4) = P(\xi = 2) + P(\xi = -2) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}.\] \[P(\eta = 9) = P(\xi = 3) + P(\xi = -3) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}.\] \[P(\eta = 16) = P(\xi = 4) + P(\xi = -4) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}.\] \[P(\eta = 25) = P(\xi = 5) + P(\xi = -5) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}.\]

Відповідь: ряд розподілу для \(\eta\): \(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x_k & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ \hline p_k & \frac{1}{11} & \frac{2}{11} & \frac{2}{11} & \frac{2}{11} & \frac{2}{11} & \frac{2}{11} \end{array}\)