Умова

Нехай дискретна випадкова величина \(X\) описує кількість успіхів у послідовності незалежних випробувань, де ймовірність успіху в кожному випробуванні залежить від номера випробування. Зокрема, у \(n\)-тому випробуванні ймовірність успіху дорівнює \(p_n = \frac{1}{n+1}\), а ймовірність невдачі \(q_n = 1 - p_n = \frac{n}{n+1}\). Кількість випробувань обмежена числом \(N = 5\). \(X\) набуває значень \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) залежно від кількості успіхів. Знайдіть ряд розподілу випадкової величини \(X\). Знайдіть функцію розподілу \(F(x) = P(X \leq x)\), \(x \in \mathbb{R}\).

Розв’язок

Оскільки \(X\) — це кількість успіхів у 5 випробуваннях, а ймовірність успіху залежить від номера випробування, ми розглядаємо всі можливі комбінації \(k\) успіхів у 5 спробах. Для \(X = k\) потрібно вибрати \(k\) випробувань із 5, у яких станеться успіх, а в решті \((5 - k)\) — невдача.

Ймовірність успіху в \(i\)-тому випробуванні: \(p_i = \frac{1}{i+1}\), а невдачі: \(q_i = \frac{i}{i+1}\).

Для конкретного набору з \(k\) успіхів у позиціях \(\{i_1, i_2, ..., i_k\}\) і \((5 - k)\) невдач у решті позицій \(\{j_1, j_2, ..., j_{5-k}\}\), ймовірність дорівнює: \[P(\text{конкретний набір}) = \left( \prod\limits_{m=1}^k \frac{1}{i_m + 1} \right) \cdot \left( \prod\limits_{n=1}^{5-k} \frac{j_n}{j_n + 1} \right).\]

Загальна ймовірність \(P(X = k)\) — це сума таких добутків по всіх можливих комбінаціях \(k\) успіхів із 5 випробувань, тобто: \[P(X = k) = \sum\limits_{\substack{\{i_1, ..., i_k\} \\ \text{вибірка з } \{1,2,3,4,5\}}} \left( \prod\limits_{m=1}^k \frac{1}{i_m + 1} \right) \cdot \left( \prod\limits_{n \in \{1,2,3,4,5\} \backslash \{i_1, ..., i_k\}} \frac{n}{n + 1} \right).\] За цією формулою обчилення дають наступний ряд розподілу для випадкової величини \(X\): \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x) & \dfrac{1}{6} & \dfrac{137}{360} & \dfrac{5}{16} & \dfrac{17}{144} & \dfrac{1}{48} & \dfrac{1}{720} \tag{1} \end{array}\] Функція розподілу: \[F(x) = P(X \le x) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X = k), \quad x \in \mathbb{R},\] що з урахуванням значень, наведених у ряду розподілу дає наступний явний вид для функції розподілу: \[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \\ \dfrac{1}{6}, & 0 \le x < 1, \\ \\ \dfrac{197}{360}, & 1 \le x < 2, \\ \\ \dfrac{619}{720}, & 2 \le x < 3, \\ \\ \dfrac{44}{45}, & 3 \le x < 4, \\ \\ \dfrac{719}{720}, & 4 \le x < 5, \\ \\ 1, & 5 \le x. \end{cases} \tag{2}\]

Відповідь: ряд розподілу (1), функція розподілу (2).