Дано дві незалежні випадкові величини \(\xi_1\), \(\xi_2\), що мають геометричний розподіл. Знайти ймовірність того, що \(\xi_1=k\) при умові, що \(\xi_1+\xi_2=n\), де \(0 \le k \le n\) та \(k,n \in \{0,1,2,...\}\).

\(\xi_1\) і \(\xi_2\) мають геометричний розподіл. Це означає, що \(P(\xi_1=k)=p_1 q_1^k\), \(P(\xi_2=k)=p_2 q_2^k\), де \(p_1 \in (0;1)\) та \(p_2 \in (0;1)\) - параметри згаданих геометричних розподілів, \(k \in \{0,1,2,... \}\), \(q_1=1-p_1\), \(q_2=1-p_2\).

З визначенням \(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\). Тому, щоб знайти шукану ймовірність \(P(\xi_1=k |\; \xi_1+\xi_2=n)\), нам потрібно спочатку знайти ймовірності \(P(\xi_1=k, \xi_1+\xi_2=n)\) та \(P(\xi_1+\xi_2=n)\): \[P(\xi_1=k, \xi_1+\xi_2=n)=P(\xi_1=k, \xi_2=n-k) = \]

Тепер скористаємось формулою повної ймовірності, а саме таким її варіантом: \[P(X) = \sum\limits_k P(XH_k).\] Маємо: \[P({\xi _1} + {\xi _2} = n) = \sum\limits_{k = 0}^n P({\xi _1} = k,{\xi _1} + {\xi _2} = n) = \sum\limits_{k = 0}^n {p_1q_1^kp_2q_2^{n - k}} = p_1p_2\frac{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}}{{q_1 - q_2}}\quad (q_1 \ne q_2).\] Отже, \[P({\xi _1} = k|\;{\xi _1} + {\xi _2} = n) = \dfrac{{P({\xi _1} = k,{\xi _1} + {\xi _2} = n)}}{{P({\xi _1} + {\xi _2} = n)}} = \frac{{p_1q_1^kp_2q_2^{n - k}}}{{p_1p_2\frac{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}}{{q_1 - q_2}}}} = \dfrac{{(q_1 - q_2)q_1^kq_2^{n - k}}}{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}}.\] Якщо \(q_1=q_2\), то аналогічно отримаємо, що \[P({\xi _1} = k,{\xi _1} + {\xi _2} = n) = {p^2}{q^n},\] \[P({\xi _1} + {\xi _2} = n) = (n + 1){p^2}{q^n}.\] Тоді \[P({\xi _1} = k|\;{\xi _1} + {\xi _2} = n) = \frac{1}{{n + 1}}.\] Перевіримо, що сума всіх знайдених ймовірностей дорівнює 1.
Для \(q_1 \ne q_2\) \[\sum\limits_{k = 0}^n P({\xi _1} = k|\;{\xi _1} + {\xi _2} = n) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{(q_1 - q_2)q_1^kq_2^{n - k}}}{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}}} = \frac{{(q_1 - q_2)}}{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}} \cdot \sum\limits_{k = 0}^n {q_1^kq_2^{n - k}} = \frac{{(q_1 - q_2)}}{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}} \cdot \frac{{q_1^{n + 1} - q_2^{n + 1}}}{{(q_1 - q_2)}} = 1\] Для \(q_1 = q_2\) \[\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{n + 1}}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} = 1.\]