Нехай \({\left( {{\xi _n}} \right)_{n \in {\mathbb{Z}^ + }}}\) та \({\left( {{\eta _n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) – незалежні одна від одної послідовності незалежних однаково розподілених (у кожній послідовності) випадкових величин. Відомо, що \(M{\xi _0} = 0\) та \(P\left\{ {{\eta _1} = 1} \right\} = p\), \(P\left\{ {{\eta _1} = 0} \right\} = 1 - p\), \(p \in (0.1)\), тобто \(\forall n \in \mathbb{N}\) \({\eta _n}\sim Be(p)\). Покладемо \({x_0} = 0\) та \(\forall n \in \mathbb{N}\) \( {x_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\eta _k}} \). Довести, що $$\frac{{\sum\limits_{k = 0}^n {{\xi _{{x_k}}}} }}{n} \xrightarrow[n\to \infty]{\qquad P=1 \qquad} 0.$$

Варто зазначити, що оскільки \({\eta _n}\sim Be(p)\), то \({x_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\eta _k}} \sim Bi(n,p)\). Позначимо \({T_i} = \left\{ {\left. {n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right|{x_n} = i} \right\}\), \({\tau _i} = \left| {{T_i}} \right|\). Тоді очевидно, що \({\left( {{\tau _n}} \right)_{n \in {\mathbb{Z}^ + }}}\) – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, причому \(\forall k \in \mathbb{N}\) \(P\left\{ {{\tau _0} = k} \right\} = {p^{k - 1}}q\), тобто \({\tau _0}\) має геометричний розподіл.

Покладемо \(\forall l \in {\mathbb{Z}^ + }\) \({S_l} = \sum\limits_{j = 0}^l {{\tau _j}} \) та \(\forall n \in \mathbb{N}\) \({\sigma _n} = \max \left\{ {\left. k \right|{S_k} \le n} \right\}\). За посиленим ЗВЧ (законом великих чисел) $$\dfrac{{{S_l}}}{l} \xrightarrow[l\to \infty]{\qquad P=1 \qquad} M{\tau _0} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{{{\sigma _n}}}{n} \xrightarrow[n\to \infty]{\qquad P=1 \qquad} {\left( {M{\tau _0}} \right)^{ - 1}}.$$ Маємо $$\frac{{\sum\limits_{k = 0}^n {{\xi _{{x_k}}}} }}{n} = \frac{{\sum\limits_{l = 0}^{{\sigma _n}} {{\xi _l}{\tau _l} + {r_n}} }}{n}.$$ Оскільки \(M{\xi _0} = 0\), то \(M\left| {{\xi _0}} \right| < + \infty \), тому $$\frac{{{r_n}}}{n} \xrightarrow[n\to \infty]{\qquad P=1 \qquad} 0.$$ Використовуючи незалежність \(\xi \) та \(\tau \) і посилений ЗВЧ, маємо $$\dfrac{{\sum\limits_{k = 0}^n {{\xi _{{x_k}}}} }}{n} = \dfrac{{\sum\limits_{l = 0}^{{\sigma _n}} {{\xi _l}{\tau _l}} }}{n} + \frac{{{r_n}}}{n} = \frac{{{\sigma _n}}}{n} \cdot \frac{{\sum\limits_{l = 0}^{{\sigma _n}} {{\xi _l}{\tau _l}} }}{{{\sigma _n}}} + \frac{{{r_n}}}{n} \xrightarrow[n\to \infty]{\qquad P=1 \qquad} 0,$$ що й треба було довести.