Нехай ${\left({\xi }_n\right)}_{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}$ та ${\left({\eta }_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ – незалежні одна від одної послідовності незалежних однаково розподілених (у кожній послідовності) випадкових величин. Відомо, що $M{\xi }_0=0$ та $P\left\{{\eta }_1=1\right\}=p$, $P\left\{{\eta }_1=0\right\}=1-p$, $p\in (0.1)$, тобто $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ ${\eta }_n\sim Be(p)$. Покладемо $x_0=0$ та $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ $x_n=\sum _{k=1}^n{\eta }_k$. Довести, що $$\frac{\sum _{k=0}^n{\xi }_{x_k}}{n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{P=1}{\to }}0.$$

Варто зазначити, що оскільки ${\eta }_n\sim Be(p)$, то $x_n=\sum _{k=1}^n{\eta }_k\sim Bi(n,p)$. Позначимо $T_i=\left\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}|x_n=i\right\}$, ${\tau }_i=\left|T_i\right|$. Тоді очевидно, що ${\left({\tau }_n\right)}_{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}$ – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, причому $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$ $P\left\{{\tau }_0=k\right\}=p^{k-1}q$, тобто ${\tau }_0$ має геометричний розподіл.

Покладемо $\mathrm{\forall }l\in {\mathbb{Z}}^{+}$ $S_l=\sum _{j=0}^l{\tau }_j$ та $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ ${\sigma }_n=max\left\{k|S_k\le n\right\}$. За посиленим ЗВЧ (законом великих чисел) $${\displaystyle \frac{S_l}{l}}\underset{l\to \mathrm{\infty }}{\overset{P=1}{\to }}M{\tau }_0\Rightarrow {\displaystyle \frac{{\sigma }_n}{n}}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{P=1}{\to }}{\left(M{\tau }_0\right)}^{-1}.$$ Маємо $$\frac{\sum _{k=0}^n{\xi }_{x_k}}{n}=\frac{\sum _{l=0}^{{\sigma }_n}{\xi }_l{\tau }_l+r_n}{n}.$$ Оскільки $M{\xi }_0=0$, то $M\left|{\xi }_0\right|<+\mathrm{\infty }$, тому $$\frac{r_n}{n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{P=1}{\to }}0.$$ Використовуючи незалежність $\xi$ та $\tau$ і посилений ЗВЧ, маємо $${\displaystyle \frac{\sum _{k=0}^n{\xi }_{x_k}}{n}}={\displaystyle \frac{\sum _{l=0}^{{\sigma }_n}{\xi }_l{\tau }_l}{n}}+\frac{r_n}{n}=\frac{{\sigma }_n}{n}\cdot \frac{\sum _{l=0}^{{\sigma }_n}{\xi }_l{\tau }_l}{{\sigma }_n}+\frac{r_n}{n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{P=1}{\to }}0,$$ що й треба було довести.