Нехай \(\xi_1, ... , \xi_n\) – незалежні випадкові величини з однаковими функціями розподілу \(F(x)\). Покладемо \(\xi=min\{\xi_1, ..., \xi_n\}\), \(\eta=max\{\xi_1, ..., \xi_n\}\). Знайти функцію розподілу випадкового вектора \((\xi,\eta)\).

\({F_{\xi ,\eta }}(x,y) = P\{\xi \le x,\eta \le y\}\) – за визначенням. Оскільки умова \(\xi \le x\) еквівалентна умові \(\exists i: {\xi _i} \le x\) (тобто хоча б одна випадкова величина повинна не перевищувати \(x\)), а умова \(\eta \le y\) – умові \(\forall i: {\xi _i} \le y\) (тобто усі випадкові величини повинні не перевищувати \(y\)), то доцільно розглянути випадки \(x < y\;\) та \(\;x \ge y\).

1. \(x < y.\;\;\) Скористаємось тим, що \(AB = B\backslash \overline A = B\backslash (\overline A \cap B)\), причому \(\overline A \cap B \subseteq B\), тобто \(P(AB) = P(B) - P(\overline A \cap B)\). Маємо: \[{F_{\xi ,\eta }}(x,y) = P\{\xi \le x,\eta \le y\} = P\{\eta \le y\} - P\{\xi > x,\eta \le y\} = P\{{\xi _i} \le y,i = \overline {1,n} \} - P\{x < {\xi _i} \le y,i = \overline {1,n} \} = \] \[ \overset{з\;незалежності\; величин\;\xi_i}{=} \prod\limits_{i = 1}^n P\{{\xi _i} \le y\} - \prod\limits_{i = 1}^n P\{x \lt {\xi _i} \le y\} = {(F(y))^n} - {(F(y) - F(x))^n}\]

2. \(x \ge y.\;\) В цьому випадку \(\eta \le y \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left\{ {{\xi _1},...,{\xi _n}} \right\}} \le y \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{\xi _1},...,{\xi _n}} \right\}} \le y \Rightarrow \xi \le y \le x\). Таким чином, оскільки \(A \subset B \Rightarrow P(AB) = P(A)\), то: \[{F_{\xi ,\eta }}(x,y) = P\{\xi \le x,\eta \le y\} = P\{\eta \le y\} = P\{{\xi _i} \le y,i = \overline {1,n} \} = {(F(y))^n}\]

Відповідь: \[{F_{\xi ,\eta }}(x,y) = \begin{cases} {(F(y))^n} - {(F(y) - F(x))^n}, & x < y \\ {(F(y))^n}, & x \ge y \end{cases}\]