Три організації представили до розгляду контрольного управління рахунки для вибіркової перевірки. Перша організація представила 15 рахунків, друга – 10, третя – 25. Ймовірності правильного оформлення кожного окремого рахунку (незалежно від інших) у цих організацій відомі та відповідно дорівнюють 0.9, 0.8 та 0.85. Із отриманих рахунків навмання був вибраний один рахунок і він виявився оформленим правильно. Знайти ймовірність того, що цей рахунок належить другій організації.

Розглянемо такі події
\(\qquad \qquad H_1 = \{\)випадково вибраний рахунок належить першій компанії\(\},\)
\(\qquad \qquad H_2 = \{\)випадково вибраний рахунок належить другій компанії\(\},\)
\(\qquad \qquad H_3 = \{\)випадково вибраний рахунок належить третій компанії\(\}.\)
Очевидно, що події \({H_1}\), \({H_2}\) та \({H_3}\) утворюють повну групу подій, бо одночасно жодні дві із них відбуватися не можуть, але одна із них обов’язково настає (усі разом вичерпують увесь ймовірнісний простір). Нагадаємо, що такі події називаються гіпотезами (саме тому вони позначаються літерами \({H_i}\)).

Всього для перевірки надійшло \(15 + 10 + 25 = 50\) рахунків, тому ймовірності гіпотез за класичним визначенням ймовірності складуть $$P({H_1}) = \frac{{15}}{{50}}, \qquad P({H_2}) = \frac{{10}}{{50}}, \qquad P({H_3}) = \frac{{25}}{{50}}.$$ Нехай подія \( A = \{\)випадково вибраний рахунок правильно оформлений\(\}.\) Тоді за умовою задачі умовні ймовірності матимуть наступний вид: $$P(A|{H_1}) = 0.9, \qquad P(A|{H_2}) = 0.8, \qquad P(A|{H_3}) = 0.85.$$ За формулою повної ймовірності $$P(A) = P(A|{H_1})P({H_1}) + P(A|{H_2})P({H_2}) + P(A|{H_3})P({H_3}) = 0.9 \cdot \frac{{15}}{{50}} + 0.8 \cdot \frac{{10}}{{50}} + 0.85\frac{{25}}{{50}} = 0.855.$$ За формулою Байєса обчислюємо шукану ймовірність $$P({H_2}|A) = \frac{{P(A|{H_2})P({H_2})}}{{P(A)}} = \frac{{0.8 \cdot \frac{{10}}{{50}}}}{{0.855}} = 0.19.$$