Умова

Маємо дві корзини. В одній з них знаходяться \( a \) білих та \( b \) чорних куль, в іншій \( c \) білих та \( d \) чорних куль. З першої корзини навмання дістають одну кулю та перекладають в іншу. Після цього з другої корзини беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде білою?

Розв’язок

Позначимо: \( A \) = {вийнята куля з другої корзини буде білою}.

Гіпотези: \( H_1 \) = {перекладена біла куля}; \( H_2 \) = {перекладена чорна куля}.

Відзначимо, що це дійсно гіпотези, бо одночасно вони відбутись не можуть, але одна із них точно відбувається (за умовою). Оскільки, шанси у кожної кульки бути вийнятою з першої корзини однакові, то за класичним визначенням ймовірності $$ P(H_1) ~=~ \dfrac{a}{a+b}, ~ ~ ~ ~ ~ P(H_2) ~=~ \dfrac{b}{a+b}. $$

Всього куль в другій корзині спочатку було \( c+d \), а після того, як переклали до неї одну кулю з першої корзини, стало \( c +d+1\). Білих куль до того, як в корзину переклали кулю з першої корзини було \( c \). Отже, якщо куля, перекладена з першої корзини до другої, біла, то в другій корзині стає \( c+1 \) біла кулі, якщо ж перекладена куля - чорна, то в другій корзині залишається \( c \) білих куль. За класичним визначенням ймовірності маємо: $$ P(A ~|~ H_1) ~=~ \dfrac{c+1}{c+d+1}, ~ ~ ~ ~ ~ P(A ~|~ H_2) ~=~ \dfrac{c}{c+d+1}. $$

Використавши формулу повної імовірності $$ \color{blue} P(A) ~=~ \sum_{k=1}^{n}P(A~|~H_k)P(H_k) ,$$ отримаємо

$$ P(A) ~=~ P(A~|~H_1)P(H_1) + P(A~|~H_2)P(H_2) ~=~ \dfrac{a}{a+b} \dfrac{c+1}{c+d+1} ~+~ \dfrac{b}{a+b} \dfrac{c}{c+d+1} ~=~ \dfrac{c(a+b)+a}{(a+b)(c+d+1)} $$

Відповідь: \( \dfrac{c(a+b)+a}{(a+b)(c+d+1)} \).