Нерівність Маркова. Якщо додатна випадкова величина \(\xi\) має скінченне математичне сподівання \(M\xi\), то для довільного \(a \gt 0\) виконується нерівність: \[\bbox[5px, border: 1px solid green]{ \bbox[10pt]{ \color{green}P\{\xi \le a\} > 1 - \frac{{M\xi }}{a}}}\]

Сума всіх вкладів в деякому банку складає 2 000 000 грошових одиниць, а ймовірність того, що випадково обраний вклад виявиться не більшим 10 000 грошових одиниць, дорівнює 0.8. Оцінити кількість вкладників банку.

Нехай \(n\) – кількість вкладників, а випадкова величина \(\xi\) описує розмір випадково обраного вкладу. Тоді середній розмір вкладу складе \[M\xi = \frac{{2\;000\;000}}{n}\text{ грошових одиниць,}\] і за нерівністю Маркова, \[P(\xi \le 10\;000) \ge 1 - \frac{{M\xi }}{{10\;000}}\] або \[P(\xi \le 10\;000) \ge 1 - \frac{{200}}{n}\qquad (1)\] А за умовою \[P(\xi \le 10\;000) = 0.8.\] Підставивши це значення в нерівність (1), отримуємо \[1 - \frac{{200}}{n} \le 0.8\] \[\frac{{200}}{n} \ge 0.2\] \[n \le 1000.\]

Відповідь: кількість вкладників банку не перевищує 1000 осіб.