Умова

В урні знаходяться 5 білих та 7 чорних куль. Із урни навмання дістають одну кулю. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде білою?

Розв’язок

Простір елементарних подій описаного стохастичного експерименту задамо наступним чином: $$ \Omega = \{ 1, 2, . . . , 12 \}, $$ де номери 1-5 відповідають білим кулям (їх всього 5), а номери 6-12 відповідають чорним кулям (їх всього 7). Подію \( A = \{\) вийнята куля буде білою \( \} \) формалізуємо так: $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\}.$$ Оскільки шанси у кожної кульки бути вийнятою однакові, то за класичним визначенням ймовірності маємо: $$ P(A) ~=~ \dfrac{|A|}{|\Omega|} ~=~ \dfrac{5}{12}.$$

Відповідь: \( \dfrac{5}{12}. \)

Перевірка Для перевірки отриманого результату напишемо просту програму мовою Javascript:

n = 0
m = 0
for(let i=0; i< 10000000; i++){
    ball_number = 1 + Math.floor(Math.random() * 12);
    if(ball_number <= 5) m++;
    n++;
}
console.log("частота m/n =", m/n)
console.log("ймовірність 5/12 =",5/12)

Пояснення: \(n\) та \(m\) будуть лічильниками, де \(n\) буде відповідати за кількість експериментів, а \(m\) за кількість тих експериментів, в яких буде витягнуто білу кулю. На початку обидва лічильники покладаємо рівними 0. Експеримент буде проводитись 10000000 разів, за що відповідає цикл (рядки 3-7): в рядку 4 ми "навмання" обираємо номер кулі від 1 до 12 (проаналізуйте математичні обчислення цього рядка); в рядку 5 ми збільшуємо лічильник \(m\), якщо витягнули білу кулю (її номер від 1 до 5); в рядку 6 ми збільшуємо загальний лічильник \(n\). Після завершення циклу просто виводимо значення відносної частоти нашої події (рядок 8) та значення ймовірності (рядок 9), яку ми обчислили у наший задачі, щоб просто порівняти ці два числа.

Результат роботи цієї програми:

частота m/n = 0.4165097
ймовірність 5/12 = 0.4166666666666667

Таким чином, обчислена нами ймовірність приблизно дорівнює отриманій частоті, що підтверджує правильність наших розрахунків, хоча, звісно, не гарантує відсутність помилок :)