Умова

Чи може незміщена оцінка бути безглуздою (недоцільною)?

Розв’язок

Складність задачі полягає у тому, що потрібно зрозуміти, що означає безглуздість (недоцільність) оцінки. Це означає, що значення, які приймає оцінка, як не дивно, не є корисними (див. також зауваження до задачі А). Нехай випадкова величина \(\xi \) має геометричний розподіл $$P\left\{ {\xi = k} \right\} = {q^k}p, \qquad k \ge 0, \qquad p + q = 1.$$ (кількість невдач до першого успіху у схемі незалежних випробувань Бернуллі). Незміщеною оцінкою параметра \(p\) може бути статистика $$t(x) = \left\{ \begin{array}{l}1,\;\;x = 0,\\0,\;\;x > 0,\end{array} \right.$$ де \(x\) – єдина реалізація випадкової величини \(\xi\). Дійсно, $$Mt(X) = P\left\{ {\xi = 0} \right\} = p.$$

Однак, ця оцінка безглузда, бо, наприклад, якщо успішним був другий експеримент (\(x = 1\)), то абсурдно стверджувати, що ймовірністю успіху \(p = 0.\)

Відповідь: Так, може. Приклад наведено вище.