Нехай $X_1,X_2,\dots ,X_n(n>1)$ – незалежна вибірка з генеральної сукупності з рівномірним розподілом на відрізку $[0,\theta ],$ $\theta >0$. Побудувати довірчий інтервал для $\theta$ з довірчою ймовірністю $\gamma \in (0,1),$ узявши в якості центральної статистики $$G(X,\theta )=\frac{\underset{1\le i\le n}{max}{X}_i}{\theta }.$$

1 крок Переконаємось у тому, що функція $G(X,\theta )$ дійсно є центральною статистикою, тобто, що її функція розподілу не залежить від $\theta$, а сама $G(X,\theta )$ монотонна по $\theta$. Дійсно, для $X^{\left(n\right)}=\underset{1\le i\le n}{max}{X}_i$ $$F_{X^{\left(n\right)}}\left(x\right)=P\{X^{\left(n\right)}\le x\}=P\{X_1\le x,\dots ,X_n\le x\}=$$ $$=P\{X_1\le x\}\cdot \dots \cdot P\{X_n\le x\}=\underset{i=1}{\prod ^n}{F}_{X_i}\left(x\right)=\{\begin{array}{rl}& 0,x<0,\\ & \frac{x^n}{{\theta }^n},x\in [0,\theta ],\\ & 1,x>\theta .\end{array}$$ Тоді функція розподілу статистики $G(X,\theta )$ набуде виду $$F_G\left(x\right)=P\{G(X,\theta )\le x\}=P\{\frac{X^{\left(n\right)}}{\theta }\le x\}=P\{X^{\left(n\right)}\le \theta x\}=F_{X^{\left(n\right)}}\left(\theta x\right)=\{\begin{array}{rl}& 0,x<0,\\ & x^n,x\in [0,1],\\ & 1,x>1.\end{array}$$ Отже $G(X,\theta )$ дійсно є центральною статистикою.

2 крок Зважаючи на носій розподілу статистики $G\left(X,\theta \right)$ (це множина [0;1]), для заданого $\gamma$ оберемо $g_1$ та $g_2$ такими, щоб$0\le g_1<g_2\le 1$ та $$\gamma =P\left\{g_1<G\left(X,\theta \right)<g_2\right\}=F_G\left(g_2\right)-F_G\left(g_1\right)=g_2^n-g_1^n.$$ Визначаємо величини $T_1$ та $T_2$ як розв’язки відносно $\theta$ рівнянь $G\left(X,\theta \right)=g_1$ та $G\left(X,\theta \right)=g_2.$ Тоді нерівність $g_1<G\left(X,\theta \right)<g_2$ еквівалентна до нерівності $T_1<\theta <T_2$, тобто $P\left\{T_1<\theta <T_2\right\}=\gamma .$ Маємо: $$T_1=\frac{X^{\left(n\right)}}{g_2},T_2=\frac{X^{\left(n\right)}}{g_1}.$$ Ширина інтервалу буде найменшою, коли $$\{\begin{array}{l}\frac{1}{g_1}-\frac{1}{g_2}\to min\\ g_2^n-g_1^n=\gamma ,\\ 0\le g_1<g_2\le 1.\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{g_1}-\frac{1}{\sqrt[n]{\gamma +g_1^n}}\to min\\ g_2^n=g_1^n+\gamma ,\\ 0\le g_1\le \sqrt[n]{1-\gamma }.\end{array}$$ Функція $\frac{1}{g_1}-\frac{1}{\sqrt[n]{\gamma +g_1^n}}$ монотонно спадає на $\left(0,\sqrt[n]{1-\gamma }\right),$ тому мінімум досягається при $g_1=\sqrt[n]{1-\gamma }$ та $g_2=1.$ Отже, довірчий інтервал найменшої ширини при заданій центральній статистиці набуває виду $$\left(X^{\left(n\right)},\frac{X^{\left(n\right)}}{\sqrt[n]{1-\gamma }}\right).$$

Відповідь: $P\left\{\theta \in \left(X^{\left(n\right)},\frac{X^{\left(n\right)}}{\sqrt[n]{1-\gamma }}\right)\right\}=\gamma ,$ де $X^{\left(n\right)}=\underset{1\le i\le n}{max}{X}_i$.