Нехай \( {{X}_{1}},{{X}_{2}},\ldots ,{{X}_{n~}}\left( n>1 \right) \) – незалежна вибірка з генеральної сукупності з рівномірним розподілом на відрізку \( \left[ 0,\theta \right],\) \(\theta >0\). Побудувати довірчий інтервал для \(\theta \) з довірчою ймовірністю \(\gamma \in \left( 0,1 \right),\) узявши в якості центральної статистики \[ G\left( X,\theta \right)=\frac{\underset{1\le i\le n}{\mathop{\max }}\,{{X}_{i}}}{\theta }.\]

1 крок Переконаємось у тому, що функція \( G\left( X,\theta \right)\) дійсно є центральною статистикою, тобто, що її функція розподілу не залежить від \(\theta \), а сама \( G\left( X,\theta \right) \) монотонна по \( \theta \). Дійсно, для \({{X}^{\left( n \right)}}=\underset{1\le i\le n}{\mathop{\max }}\,{{X}_{i}}\) $${{F}_{{{X}^{\left( n \right)}}}}\left( x \right)=P\left\{ {{X}^{\left( n \right)}}\le x \right\}=P\left\{ {{X}_{1}}\le x,\ldots ,{{X}_{n}}\le x \right\}=$$ $$=P\left\{ {{X}_{1}}\le x\}\cdot \ldots \cdot P\{{{X}_{n}}\le x \right\}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \prod }}\,{{F}_{{{X}_{i}}}}\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 0,~~\ \ \ \ \ \ \ x<0, \\ & \frac{{{x}^{n}}}{{{\theta }^{n}}},~~x\in \left[ 0,\theta \right], \\ & 1,~~\ \ \ \ \ \ \ x>\theta . \\ \end{align} \right.$$ Тоді функція розподілу статистики \( G\left( X,\theta \right) \) набуде виду $${{F}_{G}}\left( x \right)=P\left\{ G\left( X,\theta \right)\le x \right\}=P\left\{ \frac{{{X}^{\left( n \right)}}}{\theta }\le x \right\}=P\left\{ {{X}^{\left( n \right)}}\le \theta x \right\}={{F}_{{{X}^{\left( n \right)}}}}\left( \theta x \right)=\left\{ \begin{align} & 0,~~\ \ \ \ \ \ \ x<0, \\ & {{x}^{n}},~~x\in \left[ 0,1 \right], \\ & 1,~~\ \ \ \ \ \ \ x>1. \\ \end{align} \right.$$ Отже \( G\left( X,\theta \right) \) дійсно є центральною статистикою.

2 крок Зважаючи на носій розподілу статистики \(G\left( {X,\theta } \right)\) (це множина [0;1]), для заданого \(\gamma \) оберемо \({g_1}\) та \({g_2}\) такими, щоб\(\;\;0 \le {g_1} < {g_2} \le 1\) та $$\gamma = P\left\{ {{g_1} < G\left( {X,\theta } \right) < {g_2}} \right\} = {F_G}\left( {{g_2}} \right) - {F_G}\left( {{g_1}} \right) = g_2^n - g_1^n.$$ Визначаємо величини \({T_1}\) та \({T_2}\) як розв’язки відносно \(\theta \) рівнянь \(G\left( {X,\theta } \right) = {g_1}\) та \(G\left( {X,\theta } \right) = {g_2}.\) Тоді нерівність \({g_1} < G\left( {X,\theta } \right) < {g_2}\) еквівалентна до нерівності \({T_1} < \theta < {T_2}\), тобто \(P\left\{ {{T_1} < \theta < {T_2}} \right\} = \gamma .\) Маємо: $${T_1} = \frac{{{X^{\left( n \right)}}}}{{{g_2}}},\; ~ ~ ~ {T_2} = \frac{{{X^{\left( n \right)}}}}{{{g_1}}}.$$ Ширина інтервалу буде найменшою, коли $$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{g_1}}} - \frac{1}{{{g_2}}} \to \min \\g_2^n - g_1^n = \gamma ,\\0 \le {g_1} < {g_2} \le 1.\end{array} \right. ~ ~ ~ \Leftrightarrow ~ ~ ~ \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{g_1}}} - \frac{1}{{\sqrt[n]{{\gamma + g_1^n}}}} \to \min \\g_2^n = g_1^n + \gamma ,\\0 \le {g_1} \le \sqrt[n]{{1 - \gamma }}.\end{array} \right.$$ Функція \(\frac{1}{{{g_1}}} - \frac{1}{{\sqrt[n]{{\gamma + g_1^n}}}}\) монотонно спадає на \(\left( {0,\sqrt[n]{{1 - \gamma }}} \right),\) тому мінімум досягається при \(\;{g_1} = \sqrt[n]{{1 - \gamma }}\) та \({g_2} = 1.\) Отже, довірчий інтервал найменшої ширини при заданій центральній статистиці набуває виду $$\left( {{X^{\left( n \right)}},\frac{{{X^{\left( n \right)}}}}{{\sqrt[n]{{1 - \gamma }}}}} \right).$$

Відповідь: \(\;P\left\{ {\theta \in \left( {{X^{\left( n \right)}},\frac{{{X^{\left( n \right)}}}}{{\sqrt[n]{{1 - \gamma }}}}} \right)} \right\} = \gamma , \) де \({X^{\left( n \right)}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} {X_i}\).