Умова

Нехай \(X = \left( {{X_1}, \ldots ,{X_n}} \right)\) є вибіркою з деякого розподілу з параметром \(\theta \). Нехай \({T_1}\left( X \right),\;{T_2}\left( X \right),\;{T_3}\left( X \right)\) – незміщені оцінки параметра \(\theta \), $$D{T_i}\left( X \right) = 1, \quad i = \overline {1,3},$$ $$cov\left( {{T_1}\left( X \right),\;{T_2}\left( X \right)} \right) = \rho ,$$ $$\;cov\left( {{T_i}\left( X \right),\;{T_3}\left( X \right)} \right) = 0, \quad {i = \overline {1,\;2} }. $$

Знайти незміщену лінійну оцінку \(T\left( X \right) = {c_1}{T_1}\left( X \right) + {c_2}{T_2}\left( X \right) + {c_3}{T_3}\left( X \right)\) параметра \(\theta \) з найменшою можливою дисперсією і дисперсію цієї оцінки. Розглянути випадки:
а) \(\left| \rho \right| < 1,\qquad\) б) \(\rho = - 1,\qquad\) в) \(\rho = 1\).

Розв’язок

Оскільки розглядаємо незміщені оцінки, то має виконуватись $$MT\left( X \right) = {c_1}M{T_1}\left( X \right) + {c_2}M{T_2}\left( X \right) + {c_3}M{T_3}\left( X \right) = {c_1}\theta + {c_2}\theta + {c_3}\theta = \;\theta ,$$ звідки $$ c_3 = 1 - c_1 - c_2 \tag{∗}$$ Використовуючи формули $$cov\left( {{T_i}\left( X \right),\;{T_j}\left( X \right)} \right) = M\left( {{T_i}\left( X \right){T_j}\left( X \right)} \right) - M{T_i}\left( X \right)M{T_j}\left( X \right),$$ $$DT\left( X \right) = M\left( {{T^2}\left( X \right)} \right) - {\left( {MT\left( X \right)} \right)^2},$$ та властивості математичного сподівання, запишемо \(DT\left( X \right)\) так: $$ \begin{align} DT\left( X \right) & = M\left( {{{\left( {{c_1}{T_1}\left( X \right) + {c_2}{T_2}\left( X \right) + {c_3}{T_3}\left( X \right)} \right)}^2}} \right) + {\left( {M\left( {{c_1}{T_1}\left( X \right) + {c_2}{T_2}\left( X \right) + {c_3}{T_3}\left( X \right)} \right)} \right)^2} = \\ & = {c_1}^2M\left( {{T_1}^2\left( X \right)} \right) + {c_2}^2M\left( {{T_2}^2\left( X \right)} \right) + {c_3}^2M\left( {{T_3}^2\left( X \right)} \right) + 2{c_1}{c_2}M\left( {{T_1}\left( X \right){T_2}\left( X \right)} \right) + \\ & \qquad + 2{c_1}{c_3}M\left( {{T_1}\left( X \right){T_3}\left( X \right)} \right) + 2{c_2}{c_3}M\left( {{T_2}\left( X \right){T_3}\left( X \right)} \right) - \\ & \qquad - {\left( {{c_1}M{T_1}\left( X \right) + {c_2}M{T_2}\left( X \right) + {c_3}M{T_3}\left( X \right)} \right)^2} + \\ & \qquad + 2{c_1}{c_2}(cov\left( {{T_1}\left( X \right),{T_2}\left( X \right)) + M{T_1}\left( X \right)M{T_2}\left( X \right)} \right) = \\ & = {c_1}^2\left( {D{T_1}\left( X \right) + {{\left( {M{T_1}\left( X \right)} \right)}^2}} \right) + {c_2}^2\left( {D{T_2}\left( X \right) + {{\left( {M{T_2}\left( X \right)} \right)}^2}} \right) + \\ & \qquad + {c_3}^2\left( {D{T_3}\left( X \right) + {{\left( {M{T_3}\left( X \right)} \right)}^2}} \right) - {\left( {{c_1}M{T_1}\left( X \right) + {c_2}M{T_2}\left( X \right) + {c_3}M{T_3}\left( X \right)} \right)^2} = \\ & = {c_1}^2\left( {1 + {\theta ^2}} \right) + {c_2}^2\left( {1 + {\theta ^2}} \right) + {c_3}^2\left( {1 + {\theta ^2}} \right) + 2{c_1}{c_2}\left( {\rho + {\theta ^2}} \right) + 2{c_1}{c_3}\left( {0 + {\theta ^2}} \right) + \\ & \qquad + 2{c_2}{c_3}\left( {0 + {\theta ^2}} \right) - {\left( {{c_1}\theta + {c_2}\theta + {c_3}\theta } \right)^2} = \\ & = {c_1}^2 + {c_2}^2 + {c_3}^2 + 2{c_1}{c_2}\rho = {c_1}^2 + {c_2}^2 + {\left( {1 - {c_1} - {c_2}} \right)^2} + 2{c_1}{c_2}\rho . \end{align} $$ Отримали $$DT\left( X \right) = {c_1}^2 + {c_2}^2 + {\left( {1 - {c_1} - {c_2}} \right)^2} + 2{c_1}{c_2}\rho .$$

Оскільки ми маємо знайти невідомі константи \({c_1},\;{c_2}\) при яких дисперсія мінімальна, то похідні від \(DT\left( X \right)\) по \({c_1}\) та \({c_2}\) будуть дорівнювати нулю. Маємо систему рівнянь для визначення \({c_1}\) та \({c_2}\): $$\left\{ \begin{array}{l}2{c_1} + \left( {1 + \rho } \right){c_2} = 1, \qquad (1) \\ \left( {1 + \rho } \right){c_1} + 2{c_2} = 1. \qquad\; (2)\end{array} \right.$$ a) Із системи (1)-(2) рівнянь легко знайти, що $${c_1} = {c_2} = \frac{1}{{3 + \rho }},$$ а підстановка в (∗) дає \({c_3} = \dfrac{{1 + \rho }}{{3 + \rho }}\) і тоді $$T\left( X \right) = \dfrac{1}{{3 + \rho }}{T_1}\left( X \right) + \dfrac{1}{{3 + \rho }}{T_2}\left( X \right) + \dfrac{{1 + \rho }}{{3 + \rho }}{T_3}\left( X \right),$$ $$DT\left( X \right) = {\left( {\dfrac{1}{{3 + \rho }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{{3 + \rho }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 + \rho }}{{3 + \rho }}} \right)^2} + 2\frac{1}{{3 + \rho }}\frac{1}{{3 + \rho }}\rho = \frac{{1 + \rho }}{{3 + \rho }}.$$ б) При \(\rho = - 1\) із системи (1)-(2) знаходимо $${c_1} = \dfrac{1}{2}, \qquad {c_2} = \dfrac{1}{2}, \qquad {c_3} = 0$$ та $$T\left( X \right) = \dfrac{{{T_1}\left( X \right) + {T_2}\left( X \right)}}{2}, \qquad DT\left( X \right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 2\cdot\dfrac{1}{4} = 0.$$ в) При \(\rho = 1\) із системи (1)-(2) знаходимо $${c_1} + {c_2} = \dfrac{1}{2}, \qquad {c_3} = 1 - ({c_1} + {c_2}) = \dfrac{1}{2},$$ $$T\left( X \right) = c{T_1}\left( X \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - c} \right){T_2}\left( X \right) + \dfrac{1}{2}{T_3}\left( X \right),$$ $$DT(X) = c^2 + \left( {\dfrac{1}{2} - c} \right)^2 + \dfrac{1}{4} + 2c \left( {\dfrac{1}{2} - c} \right) ~=~ \dfrac{1}{2}.$$

Відповідь:
         а) \(T = \dfrac{1}{{3 + \rho }}\left( {{T_1} + {T_2} + \left( {1 + \rho } \right){T_3}} \right)\),   \(DT = \dfrac{{1 + \rho }}{{3 + \rho }}\).

         б) \(T = \dfrac{{{T_1} + {T_2}}}{2}\),   \(DT = 0\).

         в) \(T = c{T_1} + \left( {\dfrac{1}{2} - c} \right){T_2} + \dfrac{1}{2}{T_3}\),   \(DT = \dfrac{1}{2}\).