Умова

Нехай \(X\) – вибірка одиничного об’єму, тобто одне спостереження з від’ємного біноміального розподілу \(\overline {Bi} \left( {r,\theta } \right)\). Знайти незміщену оцінку \(T(X)\) для параметричної функції \(g\left( \theta \right) = {\theta ^s},\) \(s \in \mathbb{N}\).

Розв’язок

За визначенням незміщеної оцінки має місце $$MT\left( X \right) = g\left( \theta \right), \quad \forall \theta \in \Theta ,$$ що у випадку нашого розподілу означає $$\mathop \sum \limits_{x = 0}^\infty T(x)C_{r + x - 1}^x{\theta ^x}{\left( {1 - \theta } \right)^r} = {\theta ^s}, \quad \forall \theta \in \left( {0,1} \right),$$ або $$\mathop \sum \limits_{x = 0}^\infty T(x)C_{r + x - 1}^x{\theta ^x} = \frac{{{\theta ^s}}}{{{{\left( {1 - \theta } \right)}^r}}} = \mathop \sum \limits_{j = 0}^\infty C_{r + j - 1}^j{\theta ^{s + j}}, \quad \forall \theta \in \left( {0,1} \right).$$

Відомо, що два степеневі ряди тотожно рівні тільки коли у них однакові коефіцієнти при однакових степенях \(\theta \), що і дозволить нам знайти $$ {T_{r,s}}\left( x \right) = \dfrac{{C_{r + x - s - 1}^{x - s}}}{{C_{r + x - 1}^x}} = \left\{ {\begin{array}{lr} 0,& x \lt s,\\ \prod \limits_{j = 0}^{s - 1} \dfrac{{x - j}}{{r + x - j - 1}}, & x \ge s. \end{array}} \right. $$ зважаючи на те, що \(C_a^b = 0\) при \(b < 0\). Таким чином, незміщена оцінка для \(g\left( \theta \right)\) існує, єдина і має вид $${T_{r,s}}\left( X \right) = \prod \limits_{j = 0}^{s - 1} \dfrac{{X - j}}{{r + X - j - 1}}I\left\{ {X \ge s} \right\}.$$

При цьому ця оцінка при \(X \lt s\) приймає нульове значення, яке не належить області значення параметричної функції: \(0 < g\left( \theta \right) < 1\) при \(0 < \theta < 1\) .

Відповідь: \({T_{r,s}}\left( X \right) = \mathop \prod \limits_{j = 0}^{s - 1} \dfrac{{X - j}}{{r + X - j - 1}}I\left\{ {X \ge s} \right\}\).

Зауваження: При \(r = 1\) оцінка \({T_{1,s}}\left( X \right)\) приймає лише \(2\) значення $${T_{1,s}}\left( X \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0, \quad X \lt s,}\\{1, \quad X \ge s,}\end{array}} \right.$$ які не належать області значень функції \(g\left( \theta \right)\), тобто така оцінка втрачає сенс.