\(X = \left( {{X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}} \right)\) – незалежна вибірка з гамма-розподілу \(\Gamma \left( {\theta ,1} \right)\). Довести, що вибіркове середнє $$\hat \theta = T\left( X \right) = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {X_i}$$ є ефективною оцінкою невідомого параметра \(\theta \).

Нагадаємо, що щільність гамма-розподілу з параметрами \(a > 0\),\(\;b > 0\) є $${f_\xi }\left( x \right) = \frac{{{x^{b - 1}}}}{{\Gamma \left( b \right){a^b}}}\exp \left\{ { - \frac{x}{a}} \right\}, ~ ~ ~ x \ge 0, $$ де \(\Gamma (x) = \int\limits_0^\infty {{t^{x - 1}}{e^{ - t}}dt} \) – гамма-функція Ейлера. Отже, щільність для \(\Gamma \left( {\theta ,1} \right)\) має вид $$f\left( {x,\theta } \right) = \frac{{{x^{1 - 1}}}}{{\Gamma \left( 1 \right){\theta ^1}}}\exp \left\{ { - \frac{x}{\theta }} \right\} = \frac{1}{\theta }\exp \left\{ { - \frac{x}{\theta }} \right\}, ~ ~ ~ x \ge 0. $$

Щоб довести ефективність оцінки скористаємося теоремою про нерівність Крамера-Рао, у якій, зокрема, стверджується, що у нерівності \(DT \ge \frac{1}{{ni\left( \theta \right)}}\) рівність досягається тоді і лише тоді, коли оцінка є лінійною функцією від вкладу \(U\left( {X,\theta } \right)\), тобто коли $$T\left( X \right) - \theta = \alpha \left( \theta \right)U\left( {X,\theta } \right). \tag{1} $$ Покажемо, що для оцінки \(\hat \theta \) знайдеться така функція \(\alpha \left( \theta \right)\), яка перетворить (1) на тотожність. За визначенням функція вкладу $$U\left( {X,\theta } \right) ~=~ \frac{\partial }{{\partial \theta }}\ln L\left( {X,\theta } \right) ,$$ де функція вірогідності $$L\left( {X,\theta } \right) = \mathop \prod \limits_{i = 1}^n f\left( {{X_i},\theta } \right) = \mathop \prod \limits_{i = 1}^n \frac{1}{\theta }\exp \left\{ { - \frac{{{X_i}}}{\theta }} \right\} = \frac{1}{{{\theta ^n}}}\exp \left\{ { - \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {X_i}}}{\theta }} \right\} .$$ Звідси, провівши логарифмування та виконавши диференціювання по \(\theta \), знаходимо функцію вкладу $$U\left( {X,\theta } \right) = - \frac{n}{\theta } + \frac{{\mathop \sum \nolimits_{i = 1}^n {X_i}}}{{{\theta ^2}}} = \frac{n}{{{\theta ^2}}}\left( {\bar X - \theta } \right).$$ Поклавши в (1) \(\alpha \left( \theta \right) = \frac{{{\theta ^2}}}{n}\;\), отримаємо: $$\hat \theta - \theta = \frac{{{\theta ^2}}}{n}\;\cdot\frac{n}{{{\theta ^2}}}\left( {\bar X - \theta } \right). \tag{2} $$ Зважаючи на те, що \(\hat \theta = \bar X\), бачимо, що (2) є тотожністю, що і треба було довести.