Нехай \(X = \left( {{X_1},{X_2},\; \ldots \;,\;{X_n}} \right)\) – незалежна вибірка з генеральної сукупності випадкових величин, які мають розподіл Парето \(P\left( \theta \right)\) зі щільністю \[f\left( {x,\theta } \right) = \frac{\theta }{{{x^{\theta + 1}}}},\;\;x\; > 1,\] математичним сподіванням \[MX = \frac{\theta }{{\theta - 1}}\;\;\] та дисперсією \[DX = \;\frac{\theta }{{{{\left( {\theta - 1} \right)}^2}\left( {\theta - 2} \right)}}.\] Чи буде вибіркове середнє ефективною оцінкою для математичного сподівання?

\(g\left( \theta \right) = MX = \frac{\theta }{{\theta - 1}}\) параметрична функція від \(\theta \), яку будемо оцінювати вибірковим середнім \(\bar X = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {X_i}\). Перевіримо оцінку \(\bar X\) на незміщеніть: \[M\bar X = M\left( {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {X_i}} \right) = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n M{X_i} = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \frac{\theta }{{\theta - 1}} = \frac{\theta }{{\theta - 1}}.\] Як бачимо, \(M\bar X = g\left( \theta \right)\), тому \(\bar X\) – незміщена оцінка. Для перевірки ефективності скористаємось нерівністю Крамера-Рао. Оскільки \(\bar X\) – незміщена оцінка, то нерівність Крамера-Рао набуває наступного виду: \[D\bar X \ge \frac{{{{(g'\left( \theta \right))}^2}}}{{{i_n}\left( \theta \right)}} \tag{1}\] де \({i_n}\left( \theta \right)\) – інформація Фішера від вибірки. Оскільки \({X_i}\) незалежні випадкові величини, то \({i_n}\left( \theta \right) = n\cdot{i_1}\left( \theta \right).\) При цьому інформацію Фішера від одного випробування \({i_1}\left( \theta \right)\) шукаємо за формулою: \[{i_1}\left( \theta \right) = - M\left( {\frac{{{\partial ^2}lnf\left( {{X_1},\theta } \right)}}{{\partial {x^2}}}} \right) .\] Виконаємо проміжні обчислення: \[lnf\left( {x,\theta } \right) = ln\theta - \left( {\theta + 1} \right)lnx,\; ~ ~ ~ \frac{{{\partial ^2}lnf\left( {x,\theta } \right)}}{{\partial {x^2}}} = - \frac{1}{{{\theta ^2}}}\;, ~ ~ ~ {i_1}\left( \theta \right) = \frac{1}{{{\theta ^2}}}\;\;\;\; \Rightarrow \] \[\;{i_n}\left( \theta \right) = \frac{n}{{{\theta ^2}}} \tag{2}\] \[g'\left( \theta \right) = - \frac{1}{{{{(\theta - 1)}^2}}}\;,\] \[{\left( {g'\left( \theta \right)} \right)^2} = \frac{1}{{{{(\theta - 1)}^4}}}\;. \tag{3}\] Знайдемо дисперсію оцінки: \[D\bar X = D\left( {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {X_i}} \right) = \frac{1}{{{n^2}}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n D{X_i} = \frac{n}{{{n^2}}}\cdot\frac{\theta }{{{{\left( {\theta - 1} \right)}^2}\left( {\theta - 2} \right)}} = \frac{\theta }{{n{{\left( {\theta - 1} \right)}^2}\left( {\theta - 2} \right)}}\;. \tag{4}\] \(\bar X\) буде ефективною, якщо (1) перетвориться на рівність або ж відношення правої та лівої частин нерівності дорівнюватиме 1. Використовуючи (2), (3) та (4), покажемо, що це не так: \[\frac{{\frac{{{{(g'\left( \theta \right))}^2}}}{{{i_n}\left( \theta \right)}}}}{{D\bar X}} = \frac{{{\theta ^2}}}{{n{{(\theta - 1)}^4}}}\cdot\frac{{n{{(\theta - 1)}^2}\left( {\theta - 2} \right)}}{\theta } = \frac{{\theta \left( {\theta - 2} \right)}}{{{{(\theta - 1)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{(\theta - 1)}^2}}} \ne 1.\]

Відповідь: оцінка не є ефективною.