Умова

Нехай \({X_1},{X_2}, \ldots ,{X_{n\;}}\) – незалежна вибірка з генеральної сукупності з рівномірним розподілом на відрізку \(\left[ {0,\theta } \right]\). Дослідити на слушність оцінку \(T = T\left( {{X_1},{X_2}, \ldots ,{X_{n\;}}} \right) = {X^{\left( n \right)}}\) параметра \(\theta \). Стандартно використовуються позначення варіаційного ряду \({X^{\left( 1 \right)}} \le {X^{\left( 2 \right)}} \le \ldots \le {X^{\left( n \right)}}\) як впорядкованих значень вихідної вибірки, тобто, $${X^{(1)}} = \mathop {\min }\limits_{1 \le k \le n} {X_k} , ~ . . . ,~ {X^{(n)}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le k \le n} {X_k}.$$

Розв’язок

Для статистики \(T = {X^{\left( n \right)}}\) неважко знайти функцію розподілу \[{F_{{X^{\left( n \right)}}}}\left( x \right) = P\left\{ {{X^{\left( n \right)}} \le x} \right\} = P\left\{ {{X^{\left( 1 \right)}} \le {X^{\left( 2 \right)}} \le \ldots \le {X^{\left( n \right)}} \le x} \right\} = P\left\{ {{X^{\left( 1 \right)}} \le x, \ldots {X^{\left( n \right)}} \le x} \right\} = \] \[ = P\left\{ {{X_1} \le x, \ldots {X_n} \le x} \right\} = P\left\{ {{X_1} \le x} \right\}\cdot \ldots \cdot P\left\{ {{X_n} \le x} \right\} = \mathop \prod \limits_{i = 1}^n {F_{{X_i}}}\left( x \right) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \dfrac{x^n}{\theta^n}, & x \in [0, \theta], \\ 1, & x \gt \theta. \end{cases} \] та щільність $$ {f_{{X^{\left( n \right)}}}}\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}{F_{{X^{\left( n \right)}}}}\left( x \right) = \begin{cases} n\dfrac{x^{n-1}}{\theta^n}, & x \in [0, \theta], \\ 0, & x \notin [0, \theta]. \end{cases} $$ Маючи явний вид щільності, неважко обчислити математичне сподівання та дисперсію: $$M{X^{\left( n \right)}} = \mathop \smallint \limits_0^\theta x{f_{{X^{\left( n \right)}}}}\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^\theta x\cdot n\frac{{{x^{n - 1}}}}{{{\theta ^n}}}dx = \frac{{n\cdot{\theta ^{n + 1}}}}{{{\theta ^n}\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{n\cdot\theta }}{{\left( {n + 1} \right)}},$$ $$D{X^{\left( n \right)}} = \mathop \smallint \limits_0^\theta {\left( {x - M{X^{\left( n \right)}}} \right)^2}{f_{{X^{\left( n \right)}}}}\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^\theta {\left( {x - \frac{{n\cdot\theta }}{{\left( {n + 1} \right)}}} \right)^2}n\frac{{{x^{n - 1}}}}{{{\theta ^n}}}dx = $$ $$ = \mathop \smallint \limits_0^\theta \left( {{x^2} - 2x\frac{{n\theta }}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{{{n^2}{\theta ^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right)n\frac{{{x^{n - 1}}}}{{{\theta ^n}}}dx = $$ $$ = \frac{{n{\theta ^{n + 2}}}}{{{\theta ^n}\left( {n + 2} \right)}} - 2\frac{{{n^2}{\theta ^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{\theta ^{n - 1}}}} + \frac{{{n^3}{\theta ^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{\theta ^{n - 2}}n}} = \frac{n}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{\theta ^2}.$$ Як відомо (теорема про достатню умову слушності) для слушності достатньо, щоб оцінка була асимптотично незміщеною та щоб дисперсія оцінки прямувала до 0, що, очевидно, має місце в нашому випадку, зважаючи на попередні обчислення: $$ M{X^{\left( n \right)}} = \frac{{n\theta }}{{\left( {n + 1} \right)}} = \theta - \frac{\theta }{{n + 1}} \xrightarrow{\quad n\rightarrow\infty \quad} \theta , $$ $$ D{X^{\left( n \right)}} = \frac{n}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{\theta ^2} \xrightarrow{\quad n\rightarrow\infty \quad} 0 , $$ отже, \(T = {X^{\left( n \right)}}\) є слушною оцінкою параметра \(\theta\) у цій задачі.

Відповідь: \(T = {X^{\left( n \right)}}\) є слушною оцінкою параметра \(\theta\).