Дано незалежну вибірку 25.3, 23.1, 28.4, 26.9, 30.5, 22.8, 19.7 із розподілу зі щільністю $$f(x) = {\rm{ }}\frac{{\lambda \sqrt {\lambda x} }}{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}{e^{ - \lambda x}}, ~ ~ ~ ~ x > 0.$$ Методом моментів обчислити оцінку (та її реалізацію) невідомого параметра розподілу \( \lambda \).

За методом моментів прирівняємо математичне сподівання розглянутого розподілу до вибіркового середнього. Математичне сподівання знайдемо за відомою формулою через щільність: $$MX = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} .$$ Маємо: $$MX = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x,\lambda )dx = \int\limits_0^\infty {\frac{{{\lambda ^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}} } {e^{ - \lambda x}}dx = $$ $$\bbox[#CCC, border: 10px solid #CCC]{ \text{заміна} ~ ~ ~ t = \lambda x,\;\;\;\;\frac{1}{\lambda }dt = dx }$$ $$ = \frac{1}{\lambda }\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}} {e^{ - t}}dt = \frac{1}{{\lambda \cdot \Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}\int\limits_0^\infty {{t^{\frac{3}{2}}}} {e^{ - t}}dt = $$ $$\bbox[#CCC, border: 10px solid #CCC]{ \text{інтеграл Ейлера }}$$ $$ = \frac{{\Gamma \left( {\frac{3}{2} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \lambda }} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \lambda }} = \frac{3}{{2 \cdot \lambda }} .$$

Прирівнявши знайдене математичне сподівання до вибіркового середнього \(\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \), отримуємо рівняння $$\frac{3}{{2 \cdot \lambda }} = \bar x$$ із якого легко виразити параметр розподілу: $$\hat \lambda = \frac{3}{{2 \cdot \bar x}}.$$ Оскільки вибіркове середнє складе $$ \bar x = \frac{25.3 + 23.1 + 28.4 + 26.9 + 30.5 + 22.8 + 19.7}{7} \approx 25.243 $$ то реалізація оцінки набуде значення $$\hat \lambda = \frac{3}{{2 \cdot \bar x}} \approx 0.06.$$

Відповідь: \(\hat \lambda = \frac{3}{{2 \cdot \bar x}} \approx 0.06\).