Знайти інтервальну оцінку при рівні значущості 0.1 для невідомого математичного сподівання \( m \) нормально розподіленої випадкової величини, якщо відомо, що її дисперсія дорівнює 4, об`єм вибірки 36, вибіркове середнє 13.8.

Довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання визначається за формулою: $$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} \overline x - \frac{\sigma }{{\sqrt n }} \cdot {U_{1 - \frac{\alpha }{2}}} < m < \overline x + \frac{\sigma }{{\sqrt n }} \cdot {U_{1 - \frac{\alpha }{2}}} }}$$ де \( n \) – об'єм вибірки, \(\overline x \) – вибіркове середнє, \(\sigma \) – середньоквадратичне відхилення, \( \alpha \) – рівень значущості, \(m\) – математичне сподівання, \({U_ \bullet }\) – квантиль стандартного гауссівського розподілу.

За таблицями знаходимо, що \({U_{1 - \frac{\alpha }{2}}} = {U_{0.95}} \approx 1.645\), тому скориставшись формулою, знаходимо шуканий довірчий інтервал: $$13.8 - 1.645 \cdot \frac{2}{{\sqrt {36} }} < m < 13.8 + 1.645 \cdot \frac{2}{{\sqrt {36} }},$$
$$13.2517 < m < 14.3483.$$

Відповідь: \(P\{ m \in (13.2517,14.3483)\} = 0.9\).

За даними 7 вимірювань величини, що має гауссівський розподіл, знайдені: середнє значення результатів вимірювань \(\bar x = 30\) і вибіркова дисперсія \( S^2_{\text{незміщ.}} \). Знайти довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання \(m\) з довірчою імовірністю \(\gamma = 0.99\).

Довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання гауссівської випадкової величини будуємо за відомою формулою $$\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} \bar x \pm \frac{{{S_{\text{незміщ.}}}}}{{\sqrt n }} \cdot t_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{(n - 1)} }}$$ де
\( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{(n - 1)}\) – квантиль розподілу Стьюдента із \((n - 1)\) степенем свободи та індексом \(1 - \dfrac{\alpha }{2}\),
\( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ S_{\text{незміщ.}} \) – значення кореня із вибіркової незміщеної дисперсії \( S^2_{\text{незміщ.}} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} \),
\( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \alpha \) – рівень значущості, \(\alpha = 1 - \gamma = 1 - 0.99 = 0.01\).

Значення квантилю \(t_{1 - \frac{\alpha }{2}}^{(n - 1)} = t_{1 - 0,005}^{(7 - 1)}\) знайдемо за таблицею: \(t_{0,995}^{(6)} \approx {\rm{3}}{\rm{,71}}\). Підставляємо усе у формулу в рамочці: $$30 - \frac{6}{{2,64}} \cdot 3,71 < m < 30 + \frac{6}{{2,64}} \cdot 3,71.$$ Провівши підрахунки, отримуємо: $$21,57 < m < 38,43.$$

Відповідь: \(P\left\{ {m \in (21.57;\;38.43)} \right\} \approx 0.99\).