Нехай \({X_1},{X_2},...,{X_n}\) – незалежна вибірка із розподілу, який задається функцією розподілу \(F(x)\). Нехай \({\hat F_n}(x)\) – емпірична функція розподілу. Довести, що для кожного фіксованого \(x\), для якого \(0 < F(x) < 1\), розподіл випадкової величини \(\xi = {\hat F_n}(x)\) має наступний вид: $$P\left\{ {{{\hat F}_n}(x) = \frac{k}{n}} \right\} = C_n^kF{(x)^n}{(1 - F(x))^{n - k}}, \qquad k = 0,\,1,\,...,\,n.$$ при цьому $$M\hat F{}_n(x) = F(x), \qquad D{\hat F_n}(x) = \frac{1}{n}F(x)(1 - F(x)).$$

За визначенням \({\hat F_n}(x) = \dfrac{{{v_n}(x)}}{n}\), де \({v_n}(x)\) – це випадкова величина, що дорівнює кількості тих спостережень \({X_1},{X_2},...,{X_n}\), значення яких не перевищує \(x\). Покажемо, що \({v_n}(x)\) це випадкова величина, яка відповідає кількості успіхів в схемі незалежних випробувань Бернуллі. Для цього введемо деякі позначення щоб показати, які події відповідають за «успіх», а які за «неуспіх», та визначимо ймовірність настання «успіху» в кожному з випробувань. Нехай $${a_i} = \left\{ \begin{array}{l}1,\,\;\;{X_i} \le x\\0,\,\;\;{X_i} > x\end{array} \right. ,$$ тобто \({a_i} = 1\), коли настає «успіх» - відбувається подія \(\{ {X_i} \le x\} \), та \({a_i} = 0\), коли настає «неуспіх», тобто відбувається подія \(\{ {X_i} > x\} \). Простір елементарних подій буде складатись із бінарних векторів: $$\Omega = \{ \omega = ({a_1},{a_2},...,{a_n})~|~{a_i} \in \{ 0,1\} \} ,$$ а сигма-алгебра подій \(\aleph = {2^\Omega }\) (булеан). Неважко бачити, що ймовірність кожної елементарної події буде \[P(\omega ) = P(({a_1},{a_2},...,{a_n})) = {P_{{a_1}}}{P_{{a_2}}}...{P_{{a_n}}},\] де \[{P_{{a_i}}} = \left\{ \begin{array}{l}F(x),\,\;\;\;\;\;\;{\rm{якщо}}\;\;\,{a_k} = 1,\\1 - F(x),\,{\rm{якщо}}\,\;\;{a_k} = 0,\end{array} \right.\] оскільки \(P\{ {a_k} = 1\} = P\{ {X_i} \le x\} = F(x)\) та \(P\{ {a_k} = 0\} = P\{ {X_i} > x\} = 1 - P\{ {X_i} \le x\} = 1 - F(x)\), де \(F(x)\) – функція розподілу кожної випадкової величини \({X_i}\). Побудований ймовірносний простір \((\Omega ,\aleph ,P)\) за визначенням є схемою незалежних випробувань Бернуллі. Зрозуміло, що $${v_n}(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} $$ має біноміальний розподіл \(Bi(n,p)\), де \(p = F(x)\), тому \[P\{ {v_n}(x) = k\} = C_n^kF{(x)^n}{(1 - F(x))^{n - k}}, \qquad k = 0,\,1,\,...,\,n,\] звідки для \(k = 0,\,1,\,...,\,n\) \[P\left\{ {{{\hat F}_n}(x) = \frac{k}{n}} \right\} = P\left\{ {\frac{{{v_n}(x)}}{n} = \frac{k}{n}} \right\} = P\{ {v_n}(x) = k\} = C_n^kF{(x)^n}{(1 - F(x))^{n - k}}.\] Далі: $$M{v_n}(x) = nF(x), \qquad D{v_n}(x) = nF(x)(1 - F(x))$$ як математичне сподівання та дисперсія біноміального розподілу, звідки $$M\hat F{}_n(x) = M\frac{{{v_n}(x)}}{n} = \frac{1}{n}M{v_n}(x) = \frac{1}{n}nF(x) = F(x),$$ $$D{\hat F_n}(x) = D\frac{{{v_n}(x)}}{n} = \frac{1}{{{n^2}}}D{v_n}(x) = \frac{1}{{{n^2}}}nF(x)(1 - F(x)) = \frac{1}{n}F(x)(1 - F(x)),$$ що і треба було довести.