Умова

О 12-ій годині Василь підійшов до банкомату і задумався: "Якщо я простою тут 8 годин, кожні 10 хвилин записуючи кількість людей, які приходили до банкомату протягом останніх 10 хвилин, то чи буде утворена послідовність розподіленою за законом Пуассона при рівні значимості \(\alpha = 0.05\)?" Василько за результатами своїх спостережень отримав таку таблицю:

\({X_i}\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\({n_i}\)	8	10	12	14	17	8	7	3	1	0

де \({X_i}\) – кількість людей, які підходили до банкомату, а \({n_i}\) – кількість 10-хвилинних проміжків, у які рівно \({X_i}\) людей підходили до банкомату. Допоможіть Василю перевірити його гіпотезу.

Розв’язок

Основна (нульова) гіпотеза даної задачі буде гіпотезою про вид розподілу, її можна записати так: $${H_0} = \{ \text{к-сть людей, які підходили до банкомату протягом 10 хвилин, розподілена за законом Пуассона} \}.$$ Знайдемо загальну кількість людей, які стояли у черзі протягом того часу, у який за банкоматом спостерігав Василько: $$\sum\limits_{i = 0}^9 {{n_i}{X_i}} = 250.$$ З умови задачі зрозуміло, що кількість проміжків, у які велось спостереження: $$n = \sum\limits_{i = 0}^9 {{n_i}} = 80.$$ Нам потрібно оцінити параметр \(\lambda \) для розподілу Пуассона. Як відомо він також буде і математичним сподіванням для даного розподілу. Тобто можна скористатись такою оцінкою (через середнє вибіркове): $$\lambda = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 0}^9 {{n_i}{X_i}} = 3.19.$$

Обчислимо теоретичні ймовірності \({p_k}\) кількості людей, які підходили до банкомату в 10-хвилинний проміжок часу (припустивши, що вони дійсно розподілені за законом Пуассона): $${\rm{P}}(k = i) = {p_i} = \frac{{{\lambda ^i}}}{{i!}} \cdot {e^{ - \lambda }}, ~ ~ ~ ~ ~ 0 \le i \le 9.$$

\(P(k = 0) = {p_0} = 0.0413\),	\(P(k = 1) = {p_1} = 0.13\),	\(P(k = 2) = {p_2} = 0.21\),
\(P(k = 3) = {p_3} = 0.22\),	\(P(k = 4) = {p_4} = 0.18\),	\(P(k = 5) = {p_5} = 0.11\),
\(P(k = 6) = {p_6} = 0.0601\),	\(P(k = 7) = {p_7} = 0.0274\),	\(P(k = 8) = {p_8} = 0.0109\),
\(P(k = 9) = {p_9} = 0.0386\).

Тепер знайдемо теоретичні значення \({n_i} = n{p_i}\) \(,0 \le i \le 9\):

\(n{p_0} = 3.3\),	\(n{p_1} = 10.53\),	\(n{p_2} = 16.77\),	\(n{p_3} = 17.82\),	\(n{p_4} = 14.2\),
\(n{p_5} = 9.05\),	\(n{p_6} = 4.81\),	\(n{p_7} = 2.19\),	\(n{p_8} = 0.87\),	\(n{p_9} = 0.31\).

Обчислимо статистику Пірсона: $$\chi _n^2 = \sum\limits_{i = 0}^9 {\frac{{{{\left( {{n_i} - n{p_i}} \right)}^2}}}{{n{p_i}}}} = 10.68.$$

Кількість степенів свободи можна визначити за формулою \(k = m - c - 1\), де \(m\) – кількість «інтервалів» (у нас 10), \(c\) – кількість параметрів, які ми оцінюємо. Тобто в умовах даної задачі \(k = 10 - 1 - 1 = 8\). З відповідної таблиці знаходимо значення \(\chi _\alpha ^2\) для 8 ступенів вільності, \(\chi _\alpha ^2 = 12.6\). Оскільки $$\chi _n^2 = 10.68 < 12.6 = \chi _\alpha ^2,$$ то за критерієм Пірсона нема підстав для заперечення основної гіпотези \({H_0}\).

Відповідь: гіпотезу \({H_0}\) приймаємо.