Заняття №13

 

 

Математична статистика.

Точкові оцінки.

Незміщеність, слушність, та ефективність оцінок.

Нерівність Крамера-Рао

 

 

Задача 13.1   =  =  – оцінка для середнього m у генеральній сукупності із скінченою дисперсією s2. Довести:   а)   конзистентна оцінка,   б)  незміщена оцінка.

 

Задача 13.2 (X1, … , Xn) – незалежна вибірка з генеральної сукупності із скінченим математичним сподіванням  m  та  невідомою дисперсією s2.

а) Довести, що вибіркова дисперсія  є зміщеною оцінкою для невідомої дисперсії;

б) знайти зсув цієї оцінки;

в) показати, що  є незміщеною оцінкою для невідомої дисперсії.

 

Задача 13.3   (X1, … , Xn) – незалежна вибірка з генеральної сукупності із відомим математичним сподіванням m та невідомою дисперсією s2. Довести, що вибіркова дисперсія  є незміщеною оцінкою для невідомої дисперсії.

 

Задача 13.4  Є дві вибірки об’ємів n1 та n2 з генеральної сукупності з середнім m та дисперсією s2. Нехай , ,  ,   – незміщені оцінки середніх та дисперсій в цих вибірках. Довести, що об’єднані оцінки, що мають вид

    та    

є а) незсуненими та б) конзистентними оцінками для m та  s2 відповідно.

 

Задача 13.5   i1(q)=  – кількість інформації за Фішером, що міститься у одному спостереженні, in(q)=  – кількість інформації за Фішером, що міститься у  n спостереженнях. Якщо спостереження незалежні, то  in(q) = n i1(q).  Довести це.

 

Задача 13.6     Довести, що  i1(q) = – .

 

Задача 13.7        x ~ N(q, s2).    Знайти i1(q).

 

Задача 13.8   (X1, … , Xn) –  незалежна вибірка з генеральної сукупності з розподілом N(m, s2). Довести, що вибіркове середнє  є ефективною оцінкою для m.

 

 

Домашнє завдання № 13.

 

1.      Довести, що оцінки  та  є консистентними оцінками для невідомої дисперсії.

 

2.      Довести, що вибіркове середнє, пораховане для вибірки з генеральної сукупності з розподілом Пуассона, є а) незміщеною, б) консистентною та в) ефективною оцінкою для невідомого математичного сподівання.

 

3.      Х ~ N(m, q2).  Знайти i1(q) та i1(q2).

 

 

Додаткові задачі № 13.

 

1. Довести, що  є конзистентною (слушною) оцінкою невідомої дисперсії Dx = s2 при відомому середньому m.

 

2. Довести, що   є ефективною оцінкою невідомої дисперсії Dx = s2 при відомому середньому m.