Заняття №11

 

Багатовимірні гауссівські розподіли

 

 

 

Задача 11.1   Довести, що щільність розподілу гауссівського вектора, у якого координати незалежні, є добутком щільностей його координат.

 

Задача 11.2   x та y – гауссівські випадкові величини, Ex = 26, Ey = –12, а їх кореляційна матриця . Знайти щільність вектора (x,y).

 

Задача 11.3   Дано щільність розподілу ймовірностей координат (x,h) випадкової точки на площині:

.

Знайти С. Чи є вектор (ξ ,η) гауссівським? Знайти кореляційну матрицю В.

 

Задача 11.4   Визначити в точці x₁ = 2, x₂ = 2, щільність ймовірностей системи двох нормальних випадкових величин (х₁, х₂) із Mх₁ = M х₂ = 0 та кореляційною матрицею .

 

Задача 11.5   Випадковий вектор (x, y) має нормальний розподіл з Ex = Ey = 0,

Eх² = Eу² = s², Exy = 0. Знайти P{x<y} та P{x>0 , y>0}.

 

Задача 11.6   ξ~N(0,1), h₁ = ±1 з ймовірністю ½  , h₂ = ±1 з ймовірністю ½ . x, h₁, h₂ , – незалежні. x₁ = x·h₁, x₂ = x·h₂. Довести, що x₁ та x₂ ~ N(0,1), але вектор (x₁, x₂) не є гауссівським.

 

 

 

 

 

Домашнє завдання № 11.

 

1. x_і ~ N(0,i) , (i=  ) незалежні. Побудувати кореляційну матрицю випадкового вектора (x₁, . . . , x₁₀₀), та знайти її визначник.

 

2. Випадкову точку в просторі задано прямокутними координатами, що утворюють систему нормальних величин зі щільністю

Скласти кореляційну матрицю В, переконавшись, що  справді є нормальною щільністю. Визначити геометрично місце точок, в яких  f(x, y, z) = 0,01.

 

 

 

Додаткові задачі до заняття № 11.

 

1. Дано кореляційну матрицю системи трьох нормальних випадкових величин  (X, Y, Z ) :

 

та  MX = MY = MZ = 0. Знайти щільність f(x,y,z)  вектора  (X, Y, Z) та max f(x,y,z)

 

2.  Система  n нормальних випадкових величин має кореляційну матрицю:

 

а) Знайти обернену матрицю

б) Знайти щільність , якщо

 

3. Координати  та  випадкових точок на площині підкорені закону нормального розподілу, причому математичні сподівання всіх координат дорівнюють нулю, дисперсії всіх координат однакові та рівні 10; кореляційні моменти між однойменними координатами , всі інші пари координат некорельовані. Знайти щільність ймовірності .

 

4. Координати  випадкової точки  на площині підкорені нормальному закону: .

Визначити ймовірність того, що точка  опиниться всередині еліпса з головними півдіаметрами  та , які співпадають з координатними осями  та .

 

5.  не залежить від випадкового вектора  h. h . Знайти   математичні сподівання та кореляційну матрицю випадкового вектора .

 

6.  незалежні з розподілом N(0,1). Для якого найменшого k ?    .

 

7.   . Яке з наступних чисел найбільше:

,  чи  ?