Заняття №3
Схема незалежних випробувань Бернуллі. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа
Задача 3.1 Монету підкидають 5 раз. Яка ймовірність того, що герб з’явиться лише 1 раз?
Задача 3.2 Знайти ймовірності всіх можливих появ герба при 5 підкиданнях монети. Зобразити результати графічно.
Задача 3.3
а) Вважаючи, що народження хлопчика і дівчинки рівноможливі, визначити, яку частку сімей з 6 дітьми складають сім’ї з 3 хлопчиків та 3 дівчаток.
б) Нехай маємо 10 сімей, в кожній з яких 6 дітей. Яка ймовірність того, що в 4 із цих сімей буде 3 хлопчики та 3 дівчинки?
в) Скільки сімей з 6 дітьми треба відвідати, щоб з ймовірністю не меншою за 0,8 налічити саме 2 сім’ї (не більше і не менше), в яких є 3 хлопчики і 3 дівчинки?
г) Скільки сімей з 6 дітьми треба відвідати, щоб з ймовірністю не меншою за 0,8 налічити хоча б 2 сім’ї, в яких є 3 хлопчики і 3 дівчинки?
Задача 3.4 При роздачі колоди у 52 карти чотирьом гравцям один з них 3 рази підряд не отримав жодного туза. Чи слушно йому жалітися на невезіння?
Задача 3.5 В лотереї 5 квитків, серед яких 1 виграшний. а) Яка ймовірність виграти 1 раз за 5 участей в таких лотереях? б) Яка ймовірність виграти хоч раз за 5 участей в таких лотереях?
Задача 3.6 Телефонна станція обслуговує N абонентів, які користуються телефоном однаково часто і на протязі години роблять в середньому n дзвінків довжини C хвилин (C<60). Яка ймовірність того, що в конкретний момент рівно m абонентів будуть розмовляти?
Задача 3.7 В сім'ї 10 дітей. Яка ймовірність того, що хлопчиків від 3 до 8?
Задача 3.8 Автомат випускає гвіздки, причому ймовірність появи бракованого гвіздка складає 0,1%. Яка ймовірність того, що серед 1000 гвіздків буде не більше двох бракованих?
Задача 3.9 Шульги (лівши) складають 1% людей. Яка ймовірність того, що серед 200 людей а) буде саме 4 шульги, б) знайдеться 4 шульги ?
Задача 3.10 Знайти ймовірність того, що в послідовності дослідів Бернуллі (з ймовірністю успіху р) a успіхів зустрінуться раніше, ніж b невдач.
Домашнє завдання № 3.
1. Коли ліфт спускається з 10-го поверху на 1-ий, ймовірність того, що його “перехоплять”, складає 0,9. Яка ймовірність того, що ліфт буде перехоплено, коли він буде так саме спускатися з а) 11-го б) 12-го поверху?
Задачі підвищеної складності
1. (You’re in the army now…) Маємо армію, в якій 7 полків, в кожному з яких 6 батальйонів, в кожному з яких 5 рот, в кожній з яких 4 взводи, в кожному з яких 3 відділення, в кожному з яких 15 солдат. В цій армії кожен другий солдат може скласти залік з військової підготовки (тобто ймовірність того, що деякий солдат цієї армії складе залік, складає 0,5). Рівень відділення вважається задовільним, якщо в цьому відділенні хоча б 12 солдат складають залік. Рівень взводу вважається задовільним, якщо в ньому хоча б 2 відділення мають задовільний рівень. Рівень роти вважається задовільним, якщо в ній хоча б 3 взводи мають задовільний рівень. Рівень батальйону вважається задовільним, якщо в ньому хоча б 4 роти мають задовільний рівень. Рівень полку вважається задовільним, якщо в ньому хоча б 4 батальйони мають задовільний рівень. Рівень армії вважається задовільним, якщо в ній хоча б 5 полків мають задовільний рівень.
а) Яка ймовірність того, що зараз рівень цієї армії є задовільним?
б) Яка ймовірність того, що у навмання обраному полку (батальйоні, роті, взводі, відділенні) рівень виявиться задовільним?
в) До якого рівня треба підвищити ймовірність солдата скласти залік, щоб ймовірність цієї армії бути на задовільному рівні склала хоча б 0,5 (відповідь дати з точністю до 10-3).
г) При якій найменшій кількості солдат, здатних скласти залік, у цієї армії є хоч найменший шанс бути на задовільному рівні?
2. В схемі незалежних випробувань Бернуллі проводиться n дослідів з ймовірністю успіху в одному досліді p. Знайти найімовірнішу кількість успіхів.
3. Скільки дослідів в схемі незалежних випробувань Бернуллі (з ймовірністю успіху в одному досліді p) слід провести, щоб ймовірність появи саме m успіхів була найбільшою?