Заняття №2

Умовна ймовірність. Формула Байєса, формула повної імовірності. Приклади розв'язку ОЗТІ.

Задача 2.1 Із урни, в якій 3 білих та 7 чорних куль, послідовно без повернення дістають дві кулі. Розглянемо такі події: A={першою дістали білу кулю}, B={другою дістали білу кулю} та C={хоч одна з двох куль була білою}. Знайти наступні ймовірності: Р(A½B), Р(В½A) та Р(A½C).

Задача 2.2 Р(А) = , Р(В) = . Чи сумісні події А та В?

Задача 2.3 АÇВ = Æ, Р(А) > 0, Р(B) > 0. Чи залежні А та В?

Задача 2.4 А та В незалежні події з додатними ймовірностями. Чи сумісні події А та В?

Задача 2.5 Комп’ютер Pentium-I працює два роки без ремонту з ймовірністю 0,7; Pentium-ІI працює два роки без ремонту з ймовірністю 0,8, а Pentium-ІІI працює два роки без ремонту з ймовірністю 0,9. В призовому фонді оргкомітету з проведення змагань з гри “Quake-III” було 2 комп’ютери Pentium-I, 3 комп’ютери Pentium-ІI та 5 комп’ютерів Pentium-ІІI. Яка ймовірність того, що комп’ютер, який дістанеться одному з переможців, пропрацює 2 роки без поломок?

Задача 2.6 (продовження задачі 2.5) Комп’ютер одного з призерів таки пропрацював 2 роки без поломок. Яка ймовірність того, що це був саме комп’ютер Pentium-I ?

Задача 2.7 В групі 20 дівчат і 10 хлопців. Домашнє завдання з теорії ймовірностей не зробили 3 хлопці та 4 дівчини (як не соромно!). Знайти ймовірності таких подій: а) студент, якого викличуть до дошки, буде неготовий; б) відповідав хлопець, якщо відомо, що він був неготовий.

Задача 2.8 5% чоловіків та 0,25% жінок – дальтоніки. Навмання обрана людина виявилась дальтоніком. Яка ймовірність того, що це був чоловік, якщо вважати, що чоловіків та жінок однакова кількість?

Задача 2.9 Тільки один з N ключів підходить до замка. Яка ймовірність того, що буде перебрано саме К ключів до того, як буде знайдено потрібний ключ?

Задача 2.10 Студент може доїхати до факультету кібернетики від станції метро “Либідська” або автобусом, який ходить кожні 20 хвилин, або тролейбусом, який ходить кожні 10 хвилин. Яка ймовірність того, що студент буде чекати на зупинці не більше ніж 5 хвилин?

Задача 2.11 Події А, В та С незалежні в сукупності. Довести, що а) АÇВ та С незалежні; б) АÈВ та С незалежні.

Задача 2.12 Ймовірність попасти в мішені А, В та С для лучника складають відповідно 0,5 , 0,6 та 0,7. Яка ймовірність що, стріляючи по кожній мішені 1 раз (всього 3 постріли), лучник хоч раз попаде?

Домашнє завдання № 2.

Події А та В незалежні. Чи будуть вони сумісними? Навести приклад.
Із колоди в 36 карт навмання витягають одну карту. Розглянемо події A={витягнута карта туз}, B={ витягнута карта чорної масті} та C={ витягнута карта є картинкою (тобто це або валет, або дама, або король, або туз)}. Які з пар подій (А та В, В та С, А та С) залежні, а які – ні? Чому?
Стрілець цілить у мішень, яка рухається на нього. Ймовірність поцілити при першому пострілі складає 0,4 , при другому – 0,5, а при третьому – 0,6 (чим ближче мішень, тим легше в неї влучити). Яка ймовірність, що буде саме 2 влучення при трьох пострілах?
Навести приклад того, що з попарної незалежності трьох подій не випливає їх незалежність в сукупності.

Додаткові задачі

1. Петрик (3 роки, зріст 80 см, худорлявої статури, білявий, ходить до дитсадка “Сонечко”, дуже полюбляє математику і вже вміє лічити до 10.351) і Маринка (4 роки, зріст 86 см, худорлявої статури, чорнява, ходить до дитсадка “Сонечко”, дуже полюбляє математику і вже вміє лічити до 30p) кожен на своїй картці пишуть довільне натуральне число від 1 до N. Потім Маринка показує Петрику своє число, а Петрик каже, чи більше його число за Марійчине чи ні. Після цього Маринка має вгадати, яке число написав Петрик. Яке число найдоцільніше писати Марійці на своїй картці (“не навмання”), щоб частіше вигравати?

2. Яка ймовірність того, що обране Петриком (3 роки, зріст 80 см, худорлявої статури, білявий, ходить до дитсадка “Сонечко”, дуже полюбляє математику і вже навчився лічити до 23.123) навмання тризначне число виявиться більшим, ніж обране навмання та помножене на 10 двозначне число Марійки (4 роки, зріст 86 см, худорлявої статури, чорнява, ходить до дитсадка “Сонечко”, дуже полюбляє математику і вже вміє лічити до 33p)?

3. В Петриковій книзі 200 сторінок, а у Маринчиній - 100. Яка ймовірність того, що номер сторінки, на якій Петрик навмання відкриє свою книгу, буде більшим ніж номер сторінки, на якій Марійка навмання відкриє свою книгу?

Задачі підвищеної складності.

Будинок має n поверхів. Кожен поверх може бути пофарбованим чи не пофарбованим. Скількома способами можна розфарбувати будинок, якщо не дозволяється, щоб довільні два сусідні поверхи були пофарбованими?

Монету підкидають, доки двічі підряд не випаде герб. Знайти ймовірність того, що монету підкидатимуть n раз ( n ³ 4 ).

Дев’ять людей хочуть мати спільні гроші в сейфі, а сейф має бути таким, щоб можна було його відкрити, якщо зберуться принаймні шестеро з цих дев’яти людей, а інакше щоб цей сейф неможливо було відкрити. Скільки ключів і скільки замків має бути від цього сейфа?

Нехай n адресованих листів навмання розкладаються в n підписаних конвертів. Яка ймовірність того, що хоч один лист потрапить у призначений для нього конверт? Знайти також граничне значення цієї ймовірності при n®¥. Для розв’язування цієї задачі можна використати загальний вид теореми суми:

(©)

Петро кожного разу ввечері кладе документи навмання в одну з восьми шухляд, а в двох випадках із десяти взагалі їх губить. Вранці, відкривши першу шухляду, і не побачивши там документів, Петро задумався, яка ймовірність того, що документи в одній з решти семи шухляд, і як ймовірність на успіх зменшуватиметься по мірі відкривання шухляд? А як змінюватиметься при цьому ймовірність того, що документи у наступній шухлядці?

"Наївні " запитання.

Чи може до повної групи подій (ПГП) входити порожня множина?
Яке співвідношення між такими поняттями, як несумісність та незалежність подій. Чи випливає з одного інше? Навести приклади.
При підкиданні грального кубика три рази підряд випала шістка. Яка ймовірність того, що при четвертому підкиданні знову випаде шістка?