Функції від випадкових величин

(абсолютно неперервні випадкові величини)

Середній рівень

 

 

Умова

Нехай  та   випадкові величини із щільностями  та  відповідно. Відомо, що  є монотонно зростаючою функцією від :

.

Знайти функцію .

 

Розв’язок

Оскільки    монотонно зростаюча функція, то існує обернена до неї   і при цьому . Зв’язок між функціями розподілу випадкових величин  та  досить очевидний:

.      (1)

Оскільки  монотонна і неперервна (як функція розподілу абсолютно неперервної випадкової величини) на області можливих значень випадкової величини , то існує обернена до неї функція   (для  ), тому із (1) випливає

 

Відповідь:  ,  де  і .

 

 

Наведемо приклад

Нехай  

              та             

Тоді   

          та           

тому

,

звідки

.