Функції від випадкових величин
(абсолютно неперервні випадкові величини)
Середній рівень

Умова

Нехай \(X\) та \(Y\) – випадкові величини із щільностями \({f_X}(x)\) та \({f_Y}(y)\) відповідно. Відомо, що \(Y\) є монотонно зростаючою функцією від \(X\): \[Y = \varphi (X).\] Знайти функцію \(\varphi\).


Розв’язок

Оскільки \(\varphi\) – монотонно зростаюча функція, то існує обернена до неї \(\varphi^{-1}\) і при цьому \(X = \varphi^{-1}(Y)\). Зв'язок між функціями розподілу випадкових величин \(X\) та \(Y\) досить очевидний: \[{F_X}(x) = P\{ X \le x\} = P\{ {\varphi ^{ - 1}}(Y) \le x\} = P\{ Y \le \varphi (x)\} = {F_Y}(\varphi (x)). \qquad (1)\] Оскільки \({F_Y}(y)\) монотонна і неперервна (як функція розподілу абсолютно неперервної випадкової величини) на області можливих значень випадкової величини \(Y\), то існує обернена до неї функція \(F_Y^{-1}(y)\) (для \(y \in (0,1)\)), тому із (1) випливає: \[\bbox[5px, border: 1px solid blue]{ \bbox[10pt]{ \color{blue} \varphi (x) = F_Y^{ - 1}({F_X}(x))}}\]


Відповідь: \(\varphi (x) = F_Y^{ - 1}({F_X}(x))\), де \({F_X}(x) = \int\limits_{ - \infty }^x {{f_X}(x)dx}\) і \({F_Y}(y) = \int\limits_{ - \infty }^y {{f_Y}(y)dy}\).



Наведемо приклад
Нехай \[{f_X}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in [1,3], \\ 0, & x \notin [1,3]; \end{cases} \qquad та \qquad {f_Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{{4\sqrt y }}, & y \in [1,9], \\ 0, & y \notin [1,9]. \end{cases}\] Тоді \[{F_X}(x) = \begin{cases} 0, & x < 1, \\ \frac{{x - 1}}{2}, & x \in [1,3], \\ 1, & x > 3. \end{cases} \qquad та \qquad {F_Y}(y) = \begin{cases} 0, & y < 1, \\ \frac{{\sqrt y - 1}}{2}, & x \in [1,9], \\ 1, & y > 9. \end{cases}\] тому \[F_Y^{ - 1}(y) = {(2y + 1)^2}, \qquad (y \in (0,1)),\] звідки \[\varphi (x) = F_Y^{ - 1}({F_X}(x)) = {\left( {2\frac{{x - 1}}{2} + 1} \right)^2} = {x^2}.\]