7.  Випадкові блукання.

 

 

Задача 7.1 Sn – найпростіше симетричне блукання Бернуллі. Довести, що для |y|£n має місце

 

Задача 7.2 Для несиметричного випадкового блукання Бернуллі P{xk=1}=p, {xk=–1}=1–p=q. Вважаючи, що |i–j|<n, знайти P{ Sn=j | S0=i }.

Задача 7.3 Sn – найпростіше симетричне блукання Бернуллі. Довести, що для x, y > 0 має місце  .

Задача 7.4 xn – незалежні випадкові величини, Xn =  x0 +…+ xn,  Mxn=0. Довести, що Xn – мартингал.

Задача 7.5 xn – незалежні випадкові величини, Xn =  x0 *…* xn,  Mxn=1. Довести, що Xn – мартингал.

Задача 7.6 xn – незалежні випадкові величини, X0 =  x0, Xn = ,  Mxn=0. Довести, що Xn – мартингал.

Задача 7.7 x(w)=w2, wÎ[0, 3]. h(w)=. Знайти M( x | h ).

 

 

 

Домашнє завдання № 7

 

 

  1. Чи буде Xn в задачах 7.4 та 7.5 субмартингалом (супермартингалом), якщо Mxn³0 (Mxn £0)?
  2. x(w)=w2, wÎ[0, 1]. h(w)=.  Знайти M( x | h ).