Загальні моделі руху населення

Задача 6.1  Нехай є популяція кроликів двох вікових категорій: доросла і молода. За один проміжок часу кожна доросла пара народжує  μ  пар молодих, кожна молода пара стає дорослою, і крім цього, проводиться вилучення  l  пар дорослих кроликів (після народжень і переходів).

а) Знайти рівноважні значення кількостей молодих і дорослих пар.

Припускаючи, що в початковий момент часу  є   пар дорослих кроликів:

б) знайти кількості пар молодих і дорослих кроликів в будь-який момент  t  в загальному випадку (без врахування умови невід’ємності);

в) знайти умови, за яких популяція кроликів росте, вимирає, прямує до скінченної ненульової границі.

 

Задача 6.2  Нехай є популяція кроликів трьох вікових категорій. За один крок кожна молода пара стає дорослою, кожна доросла народжує 3 молодих і стає старою, зі старих ½ помирає. Крім цього, відбувається вилучення 4 молодих, 2 дорослих і 1 старої пари (після народжень, загибелі й переходів). Знайти рівноважне положення.

 

Задача 6.3  Є дві групи (1 і 2). Природній приріст в групі 1 дорівнює  a, в групі 2 – b. Крім цього, є постійний потік із швидкістю l чол. з першої групи в другу (поки група 1 не порожня). Розглянути всі випадки розвитку подій.

 

Задача 6.4  Є дві групи (1 і 2). Природній приріст в групі 1 дорівнює k₁, в групі 2 – k₂, інтенсивність переходів з 1 в 2 дорівнює l₁, з 2 в 1 – l₂. Знайти умови, за яких популяція росте, вимирає, прямує до скінченної ненульової границі (при невід’ємній, ненульовій початковій умові).

 

Задача 6.5  В умовах задачі 6.4 знайти загальний розв’язок, показник росту і граничну структуру при невід’ємній, ненульовій початковій умові, якщо задані параметри:
а)  ;       б) ;     в) ;

г) ;      д) .

 

Задача 6.6  В умовах задачі 6.4 знайти вектор  (t), асимптотику  при  і граничну структуру населення при , початковій умові  і додатковому припущенні, що в групу 1 поступає потік із швидкістю , якщо:

а) ;            б) ;           в) .

 

Задача 6.7     В місті живе 4,4 млн. чоловіків і 5,6 млн. жінок. Смертність серед них 8‰ і 7‰ (в рік); народжуваність у жінок 30‰ (в рік); хлопчиків і дівчаток народжується порівну. Дати прогноз чисельностей чоловіків і жінок міста на 10 років наперед.

 

Задача 6.8     В регіоні А природний приріст складає  -5‰ (в рік), у регіоні Б  +10‰ (в рік), інтенсивність переїздів з Б в А дорівнює 5‰ (в рік). Нехай в А і Б живуть 8 і 2 млн. чол. відповідно. Дати прогноз чисельностей населення регіонів на 20 років наперед:

а) без урахування зовнішньої міграції;

б) якщо в А йде притік ззовні зі швидкістю 30 тис. чол. на рік.

 

Задача 6.9     В регіонах А і Б природний приріст складає 12‰ і 8‰ (в рік); інтенсивність переїздів з А в Б складає 7‰ (в рік), з Б в А – 5‰ (у рік), початкові чисельності населення регіонів 10,6 і 9,4 млн. чол. Дати прогноз на 10 років наперед.

 

Задача 6.10  В містах А і Б живе 2 і 3 млн. чол. За рік з А до Б переїхало 16 тис. чол., з Б в А - 36 тис. чол., причому чисельність населення в А виросла на 40 тис. чол., а в Б зменшилась на 5 тис. чол. Оцінити інтенсивності переїздів і природний приріст у містах А та Б.