Моделі народжуваності

 

Задача 3.1. Перевірити гіпотезу про пуассоновість потоку народжених за критерієм  для рівня значущості 1%.

 

Задача 3.2.  Знайти середню кількість дітей та середній вік матерів в наступних моделях вікової фертильності:

а)

б)

в)

Вказівка: використати визначення та властивості бета-функції.

Задача 3.3.    В поліноміальній моделі народжуваності У. Брасса вікова фертильність описується формулою

при .  В цих припущеннях:

а) виразити невідомі параметри моделі через середню кількість дітей та середній вік матерів.

б) при  знайти точку максимуму фертильності та його значення.

Задача 3.4.   Знайти ймовірність виродження для наступних розподілів кількості дітей в сім’ї:

а) трьохточкового —

б) чотирьохточкового —

в) геометричного (від нуля) із середнім µ.

Задача 3.5.  Оцінити ймовірність виродження за даними таблиці для кожної з когорт, об’єднуючи ймовірності кількості дітей ≥ 3.

 

Задача 3.6.  Нехай розподіл кількості дітей задано ймовірностями: , , , . Знайти середню кількість дітей та середній вік матерів, якщо перша дитина народжується (в середньому) в 23 роки, друга – через 4 роки, третя – через 3 роки, четверта – через 2 роки (нехтуємо смертністю, чисельність вікових груп матерів вважаємо однаковою).

Задача 3.7.  Знайти розподіл числа хлопчиків в сім’ї, якщо ймовірність народження хлопчика 0.515, а розподіл загальної кількості дітей в сім’ї:

а) біноміальний з параметрами ;

б) пуассонівський з середнім 2.

Задача 3.8.  В моделі Лоткі розподіл числа чоловічих потомків (що продовжують прізвище) описуються формулами: , , ,  ,  .

а) Знайти середню кількість чоловічих потомків µ та ймовірність виродження прізвища q.

б) Розв’язати задачу при , .

Задача 3.9.  Нехай розподіл кількості дітей в сім’ї пуассонівський з середнім λ=3, перша дитина народжується в середньому в 22 роки, а кожна наступна — в середньому через 2 роки (смертністю нехтуємо, кількість вікових груп матерів вважаємо однаковою).

а) Знайти середній вік матерів.

б) Як зміниться середній вік матерів, якщо перша дитина буде народжуватись в середньому на рік пізніше, а середня кількість дітей скоротиться в два рази?

Задача 3.10.  За даними таблиці вікових коефіцієнтів (числа народжених на 1000 жінок даного віку)

оцінити:

а) брутто-коефіцієнт народжуваності і середній вік матерів;

б) нетто-коефіцієнт народжуваності, враховуючи наступні дані:

 

Задача 3.11.  Розв’язати попередню задачу за наступними даними:

 

 

Задача 3.12.  За рік в місті народилося 10268 хлопців та 9742 дівчини. На рівні значимості 5% перевірити гіпотезу про те, що:

а) народження хлопців та дівчат рівноможливі,

б) ймовірності народження для хлопців та дівчат дорівнюють 0,51 і 0,49.

Задача 3.13. В місті А з населенням 1 млн. чол., за рік народилося 10,2 тис. дітей, а в сусідньому  місті Б з населенням 2 млн. чол. в той же рік народилося 19,8 тис. дітей. Чи можна стверджувати, що середня народжуваність в місті А більше, ніж в Б (на рівні значимості 5%)?

Задача 3.14. В місті з населенням 1 млн. чол. народжуваність складає 1% в рік. Побудувати 95%-довірчий інтервал для кількості народжувань за рік.

Задача 3.15. Побудувати 99%-довірчий інтервал для кількості хлопців на 100 тис. народжувань, якщо ймовірність народження хлопця дорівнює 0,515.