en   ua   🔍
Боровков А.А.
Теория вероятностей

2009, 656 страниц.

Повернутись до списку літератури

С О Д Е Р А Ж Н И Е

Предисловие
Предисловие к третьему и четвертому изданиям
Введение
Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий
  § 1. Вероятностное пространство
  § 2. Классическая схема
  § 3. Схема Бернулли
  § 4. Вероятность объединения событий. Примеры
Глава 2.  Произвольное пространство элементарных событий
  § 1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство
  § 2. Свойства вероятности
  § 3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний
  § 4. Формула полной вероятности и формула Байеса
Глава 3.  Случайные величины и функции распределения
  § 1. Определения и примеры
  § 2. Свойства функций распределения и примеры
    2.1. Основные свойства функций распределения
    2.2. Распределения, наиболее часто встречающиеся в теории и приложениях
    2.3. Три типа распределений
    2.4. Распределение функций от случайных величин
  § 3. Многомерные случайные величины
  § 4. Независимость случайных величин и классов событий
    4.1. Независимость случайных величин
    4.2. Независимость классов событий
    4.3. Связь введенных понятий
  § 5. О бесконечных последовательностях случайных величин
  § 6. Интегралы
    6.1. Интеграл по мере
    6.2. Интеграл Стилтьеса
    6.3. Интегралы от многомерных случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин
Глава 4.  Числовые характеристики случайных величин
  § 1. Математическое ожидание
  § 2. Условные функции распределения и условные математические ожидания
  § 3. Математические ожидания функций независимых случайных величин
  § 4. Математическое ожидание сумм случайного числа случайных величин
  § 5. Дисперсия
  § 6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики
  § 7. Неравенства
    7.1. Неравенства для моментов
    7.2. Неравенства для вероятностей
  § 8. Обобщение понятия условного математического ожидания
    8.1. Определение условного математического ожидания (у.м.о)
    8.2. Свойства у.м.о.
  § 9. Условные распределения
Глава 5.  Последовательность независимых испытаний с двумя исходами
  § 1. Законы больших чисел
  § 2. Локальная предельная теорема и ее уточнения
    2.1. Локальная предельная теорема
    2.2. Уточнения локальной теоремы
    2.3. Локальная предельная теорема для полиномиальных распределений
  § 3. Теорема Муавра--Лапласа и ее уточнения
  § 4. Теорема Пуассона и ее уточнения
    4.1. Оценки близости распределений Пуассона и распределений сумм Sn
    4.2. Схема серий. Теорема Пуассона
  § 5. Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли
Глава 6.  О сходимости случайных величин и распределений
  § 1. Сходимость случайных величин
    1.1. Виды сходимости
    1.2. Теорема непрерывности
    1.3. Равномерная интегрируемость и ее следствия
  § 2. Сходимость распределений
  § 3. Условия слабой сходимости
Глава 7.  Характеристические функции
  § 1. Определение и свойства характеристических функций
    1.1. Свойства характеристических функций
    1.2. Свойства х.ф., связанные со структурой распределения xi
  § 2. Формулы обращения
    2.1. Формула обращения для плотностей
    2.2. Формула обращения для распределений
    2.3. Формула обращения в L2. Класс функций, которые одновременно являются плотностями и х.ф.
  § 3. Теорема непрерывности (сходимости)
  § 4. Применение характеристических функций для доказательства теоремы Пуассона
  § 5. Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение
  § 6. Другие применения х.ф. Свойства гамма-распределения
    6.1.Свойство устойчивости распределений Phia,sigma2,Kalpha,sigma
    6.2.Gamma-распределение и его свойства
  § 7. Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении
    7.1. Производящие функции
    7.2. Простейшие ветвящиеся процессы
Глава 8.  Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы
  § 1. Закон больших чисел
  § 2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин
  § 3. Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин
  § 4. Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин
  § 5 Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки погрешности
  § 6. Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае
  § 7. Интегро-локальные и локальные предельные теоремы для сумм одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией
    7.1. Интегро-локальные теоремы
    7.2. Локальные теоремы
    7.3. Доказательство теоремы 7.1 в общем случае
    7.4. Равномерные версии теорем 7.1--7.3 для случайных величин, зависящих от параметра
  § 8. Сходимость к другим предельным законам
    8.1. Интегральная теорема
    8.2. Интегро-локальные и локальные теоремы
    8.3. Пример
Глава 9.  Вероятности больших уклонений сумм независимых случайных величин
  § 1. Преобразования Лапласа и Крамера. Функция уклонений
    1.1. Условие Крамера. Преобразования Лапласа и Крамера
    1.2. Функция уклонений
  § 2. Связь вероятностей больших уклонений для сумм случайных величин и для сумм преобразований Крамера над ними. Вероятностный смысл функции уклонений
    2.1. Связь вероятностей больших уклонений для сумм случайных величин и для сумм преобразований Крамера над ними
    2.2. Вероятностный смысл функции уклонений
    2.3. Принцип больших уклонений
  § 3. Интегро-локальные, интегральные и локальные теоремы о вероятностях больших уклонений в крамеровской области
    3.1. Интегро-локальные и интегральные теоремы
    3.2. Локальные теоремы
  § 4. Интегро-локальные теоремы на границе крамеровской области
    4.1. Введение
    4.2. Вероятности больших уклонений Sn, расположенных в o(n)-окрестности точки alpha + n; случай psi''(lambda+) < oo
    4.3.Класс распределений ER. Вероятность больших уклонений Sn в o(n)-окрестности точки alpha + n для распределений F из класса ER в случае psi''(lambda+) = oo
    4.4. О вероятностях больших уклонений в области alpha > alpha+ для распределений из класса ER
  § 5. Интегральные и интегро-локальные теоремы о вероятностях больших уклонений сумм Sn, когда условие Крамера не выполнено
    5.1. Интегральные теоремы
    5.2. Интегро-локальные теоремы
  § 6. Интегро-локальные теоремы о вероятностях больших уклонений Sn вне крамеровской зоны (при выполненном условии Крамера)
Глава 10.  Процессы восстановления
  § 1. Процессы восстановления, функции восстановления
    1.1. Введение
    1.2. Интегральная теорема восстановления для разнораспределенных слагаемых
  § 2. Основная теорема восстановления в арифметическом случае
  § 3. Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распределение в арифметическом случае
  § 4. Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в неарифметическом случае
  § 5. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления
    5.1. Закон больших чисел
    5.2. Центральная предельная теорема
    5.3. Теорема о конечности нижней грани последовательных сумм
    5.4. Стохастические неравенства. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для максимума сумм разнозначных разнораспределенных случайных величин
    5.5. Распространение теорем 5.1, 5.2 на разнозначные случайные величины
    5.6. Локальная предельная теорема
  § 6. Обобщенные процессы восстановления
    6.1. Определение и некоторые свойства
    6.2. Центральная предельная теорема
    6.3. Интегро-локальная теорема
Глава 11.  Свойства траекторий случайных блужданий. Законы нуля и единицы
  § 1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции
    1.1. Законы нуля и единицы
    1.2. Верхняя и нижняя функции
  § 2. Сходимость рядов независимых случайных величин
  § 3. Усиленный закон больших чисел
  § 4. Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых
  § 5. Усиленный закон больших чисел для обобщенных процессов восстановления
    5.1. Усиленный закон больших чисел для процессов восстановления
    5.2. Усиленный закон больших чисел для обобщенных процессов восстановления
Глава 12.  Случайные блуждания и факторизационные тождества
  § 1. Факторизационные тождества
    1.1. Факторизация
    1.2. Каноническая факторизация функции fz(lambda) = 1 - z x phi(lambda)
    1.3. Второе факторизационное тождество
  § 2. Некоторые следствия теорем 1.1--1.3
    2.1. Прямые следствия
    2.2. Обобщение усиленного закона больших чисел
  § 3.Тождество Поллачека--Спитцера. Тождество для величины S = supSk,k>=0
    3.1. Тождество Поллачека--Спитцера S = supSk,k>=0
    3.2.Тождество для величин 
  § 4. Распределение S в задачах страхования и систем обслуживания
    4.1. Случайные блуждания, возникающие в задачах страхования
    4.2. Системы обслуживания
    4.3. Стохастические модели с непрерывным временем
  § 5. Случаи, когда компоненты факторизации могут быть найдены в явном виде. Нерешетчатый случай
    5.1. Предварительные замечания о единственности факторизации
    5.2. Классы распределений на положительной полуоси, имеющие рациональные х.ф.
    5.3.Явная каноническая факторизация функции frak(lambda) в случае, когда правый хвост распределения F есть экспоненциальный полином
    5.4.Явная факторизация функции frak(lambda), когда левый хвост распределения F есть экспоненциальный полином
    5.5. Явная каноническая факторизация функции frak0(lambda)
  § 6. Факторизация в явном виде в арифметическом случае
    6.1. Предварительные замечания о единственности факторизации
    6.2. Классы распределений на положительной полуоси, имеющие рациональные производящие функции
    6.3.Явная каноническая факторизация функции frak(z) в случае, когда правый хвост распределения F является экспоненциальным полиномом
    6.4.Явная каноническая факторизация функции frak(z), когда левый хвост распределения F является экспоненциальным полиномом
    6.5. Явная факторизация функции frak0(z).
  § 7. Асимптотические свойства распределений chi+-, S
    7.1.Асимптотика P(chi+ >x | nu+ < oo), P(chi0- < -x) в случае Exi =< 0
    7.2.Асимптотика P(S > x)
    7.3. Распределение максимальных значений обобщенных процессов восстановления
  § 8. О распределении времен первого прохождения
    8.1. Свойства распределений времен eta+-
    8.2. Распределение времени первого прохождения произвольного уровня x для арифметических блужданий, непрерывных сверху
Глава 13.  Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова
  § 1. Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация состояний
    1.1. Определения и примеры
    1.2. Классификация состояний
  § 2. Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае
  § 3. Теоремы о случайных блужданиях на решетке
    3.1. Случайное блуждание по целым точкам на прямой
    3.2. Симметричные случайные блуждания в Rk, k >= 2
    3.3. Произвольное симметричное случайное блуждание на прямой
  § 4. Предельные теоремы для счетных однородных цепей
    4.1. Эргодические теоремы
    4.2. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для числа попаданий в заданное состояние
  § 5. Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей
  § 6. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичность цепей, имеющих положительный атом
    6.1. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний
    6.2. Цепи Маркова, имеющие положительный атом
  § 7. Эргодичность харрисовых цепей Маркова
    7.1. Эргодическая теорема
    7.2. Об условиях (I), (II)
  § 8. Законы больших чисел и центральная предельная теорема для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова
    8.1. Случайные величины на цепи Маркова
    8.2. Законы больших чисел
    8.3. Центральная предельная теорема
Глава 14.  Информация и энтропия
  § 1. Определения, свойства информации и энтропии
  § 2. Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения
    2.1. Энтропия последовательности испытаний, связанных в стационарную цепь Маркова
    2.2. Закон больших чисел для количества информации, содержащейся в сообщении
    2.3. Асимптотическое поведение числа наиболее вероятных исходов в последовательности испытаний
Глава 15.  Мартингалы
  § 1. Определения, простейшие свойства, примеры
  § 2. О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда
  § 3. Неравенства
    3.1. Неравенства для мартингалов
    3.2. Неравенство для числа пересечений полосы
  § 4. Теоремы сходимости
  § 5. Ограниченность моментов стохастических последовательностей
Глава 16.  Стационарные (в узком смысле) последовательности
  § 1. Основные понятия
  § 2. Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости
  § 3. Эргодическая теорема
Глава 17.  Стохастически рекурсивные последовательности
  § 1. Основные понятия
  § 2. Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности
    2.1. Эргодичность с.р.п.
    2.2. Ограниченность случайных последовательностей
  § 3. Условия эргодичности, связанные с монотонностью f
  § 4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица
Глава 18.  Случайные процессы с непрерывным временем
  § 1. Общие определения
  § 2. Условия регулярности процессов
Глава 19.  Процессы с независимыми приращениями
  § 1. Общие свойства
  § 2. Винеровские процессы, свойства траекторий и времени первого прохождения уровня
  § 3. Законы повторного логарифма
  § 4. Пуассоновские процессы
  § 5. Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями
Глава 20.  Функциональные предельные теоремы
  § 1. Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности)
  § 2. Закон повторного логарифма
  § 3. Сходимость к пуассоновскому процессу
    3.1. Сходимость процессов накопленных сумм
    3.2. Сходимость сумм редеющих процессов восстановления
Глава 21.  Марковские процессы и некоторые их обобщения
  § 1. Определения и общие свойства марковских процессов
    1.1. Определения и общие свойства
    1.2. Переходная вероятность
  § 2. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры
    2.1. Основные свойства процесса
    2.2. Примеры
  § 3. Ветвящиеся процессы
  § 4. Полумарковские процессы
    4.1. Полумарковские процессы на состояниях цепи
    4.2. Эргодическая теорема
    4.3. Полумарковские процессы на переходах цепи
  § 5. Регенерирующие процессы
    5.1. Регенерирующие процессы. Эргодическая теорема
    5.2. Законы больших чисел и центральная предельная теорема для интегралов от регенерирующих процессов
  § 6. Диффузионные процессы
Глава 22.  Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы
  § 1. Процессы с конечными моментами второго порядка
  § 2. Гауссовские процессы
  § 3. Задача о прогнозе
Приложение 1.  Теорема о продолжении вероятностной меры
Приложение 2.  Теорема Колмогорова о согласованных распределениях
Приложение 3.  Элементы теории меры и интеграла
  § 1. Пространство с мерой
  § 2. Интеграл по вероятностной мере
    2.1. Интегралы от простых функций
    2.2. Определение интегралов от произвольных функций
    2.3. Свойства интегралов
  § 3. Дальнейшие свойства интегралов
    3.1. Теоремы сходимости
    3.2. Связь с интегрированием по мере на прямой
    3.3. Произведения мер и повторные интегралы
  § 4. Интеграл по произвольной мере
  § 5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона--Никодима
  § 6. Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах
    6.1. Слабая сходимость
    6.2. Сходимость по вариации
Приложение 4.  Теоремы Хелли и Арцела--Асколи
Приложение 5.  Доказательство теоремы Берри--Эссена
Приложение 6.  Основные свойства правильно меняющихся функций и субэкспоненциальных распределений
  § 1. Общие свойства правильно меняющихся функций
  § 2. Основные асимптотические свойства
  § 3. Асимптотические свойства преобразований над п.м.ф. (теоремы абелева типа)
  § 4. Субэкспоненциальные распределения и их свойства
Приложение 7.  Доказательство теорем о сходимости к устойчивым законам
  § 1. Интегральная теорема
  § 2. Интегро-локальные и локальные теоремы
Приложение 8.  Оценки сверху и снизу для распределений сумм и максимума сумм независимых случайных величин
  § 1. Оценки сверху при выполнении условия Крамера
  § 2. Оценки сверху при невыполнении условия Крамера
  § 3. Оценки снизу
Приложение 9.  Теоремы восстановления
Литература
Список основных обозначений
Предметный указатель

Повернутись до списку літератури


Шарапов М.М. 2007-2024