Предисловие |
Предисловие к третьему и четвертому изданиям |
Введение |
Глава 1. |
Дискретное пространство элементарных событий |
|
§ 1. |
Вероятностное пространство |
|
§ 2. |
Классическая схема |
|
§ 3. |
Схема Бернулли |
|
§ 4. |
Вероятность объединения событий. Примеры |
Глава 2. |
Произвольное пространство элементарных событий |
|
§ 1. |
Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство |
|
§ 2. |
Свойства вероятности |
|
§ 3. |
Условная вероятность. Независимость событий и испытаний |
|
§ 4. |
Формула полной вероятности и формула Байеса |
Глава 3. |
Случайные величины
и функции распределения |
|
§ 1. |
Определения
и примеры |
|
§ 2. |
Свойства функций распределения
и примеры |
|
|
2.1. |
Основные свойства функций
распределения |
|
|
2.2. |
Распределения, наиболее часто встречающиеся в теории и приложениях |
|
|
2.3. |
Три типа распределений |
|
|
2.4. |
Распределение функций от случайных величин |
|
§ 3. |
Многомерные случайные
величины |
|
§ 4. |
Независимость случайных величин и классов событий |
|
|
4.1. |
Независимость случайных величин |
|
|
4.2. |
Независимость классов событий |
|
|
4.3. |
Связь введенных понятий |
|
§ 5. |
О бесконечных последовательностях случайных величин |
|
§ 6. |
Интегралы |
|
|
6.1. |
Интеграл по мере |
|
|
6.2. |
Интеграл Стилтьеса |
|
|
6.3. |
Интегралы от многомерных случайных
величин. Распределение суммы независимых случайных
величин |
Глава
4. |
Числовые характеристики
случайных величин |
|
§ 1. |
Математическое
ожидание |
|
§ 2. |
Условные функции распределения
и условные математические ожидания |
|
§ 3. |
Математические ожидания функций
независимых случайных величин |
|
§ 4. |
Математическое ожидание сумм
случайного числа случайных величин |
|
§ 5. |
Дисперсия |
|
§ 6. |
Коэффициент корреляции
и другие числовые характеристики |
|
§ 7. |
Неравенства |
|
|
7.1. |
Неравенства для моментов |
|
|
7.2. |
Неравенства для вероятностей |
|
§ 8. |
Обобщение понятия условного
математического ожидания |
|
|
8.1. |
Определение условного математического
ожидания (у.м.о) |
|
|
8.2. |
Свойства у.м.о. |
|
§ 9. |
Условные распределения |
Глава
5. |
Последовательность независимых
испытаний с двумя исходами |
|
§ 1. |
Законы больших чисел |
|
§ 2. |
Локальная предельная теорема
и ее уточнения |
|
|
2.1. |
Локальная предельная теорема |
|
|
2.2. |
Уточнения локальной теоремы |
|
|
2.3. |
Локальная предельная теорема для
полиномиальных распределений |
|
§ 3. |
Теорема Муавра--Лапласа
и ее уточнения |
|
§ 4. |
Теорема Пуассона и ее
уточнения |
|
|
4.1. |
Оценки близости распределений Пуассона
и распределений сумм Sn |
|
|
4.2. |
Схема серий. Теорема Пуассона |
|
§ 5. |
Неравенства для вероятностей
больших уклонений в схеме Бернулли |
Глава 6. |
О сходимости случайных
величин и распределений |
|
§ 1. |
Сходимость случайных
величин |
|
|
1.1. |
Виды сходимости |
|
|
1.2. |
Теорема непрерывности |
|
|
1.3. |
Равномерная интегрируемость и ее следствия |
|
§ 2. |
Сходимость распределений |
|
§ 3. |
Условия слабой
сходимости |
Глава 7. |
Характеристические
функции |
|
§ 1. |
Определение и свойства
характеристических функций |
|
|
1.1. |
Свойства характеристических
функций |
|
|
1.2. |
Свойства х.ф., связанные со структурой
распределения xi |
|
§ 2. |
Формулы обращения |
|
|
2.1. |
Формула обращения для
плотностей |
|
|
2.2. |
Формула обращения для
распределений |
|
|
2.3. |
Формула обращения в L2.
Класс функций, которые одновременно являются плотностями
и х.ф. |
|
§ 3. |
Теорема непрерывности
(сходимости) |
|
§ 4. |
Применение характеристических
функций для доказательства теоремы Пуассона |
|
§ 5. |
Характеристические функции
многомерных распределений.
Многомерное нормальное распределение |
|
§ 6. |
Другие применения х.ф. Свойства
гамма-распределения |
|
|
6.1.Свойство устойчивости распределений Phia,sigma2,Kalpha,sigma |
|
|
6.2.Gamma-распределение
и его свойства |
|
§ 7. |
Производящие функции.
Применение к изучению ветвящегося процесса.
Задача о вырождении |
|
|
7.1. |
Производящие функции |
|
|
7.2. |
Простейшие ветвящиеся процессы |
Глава
8. |
Последовательности независимых
случайных величин. Предельные теоремы |
|
§ 1. |
Закон больших чисел |
|
§ 2. |
Центральная предельная теорема
для одинаково распределенных
случайных величин |
|
§ 3. |
Закон больших чисел
для произвольных независимых случайных
величин |
|
§ 4. |
Центральная предельная теорема
для сумм произвольных независимых
случайных величин |
|
§ 5 |
Другой подход
к доказательству предельных теорем.
Оценки погрешности |
|
§ 6. |
Закон больших чисел
и центральная предельная теорема в многомерном
случае |
|
§ 7. |
Интегро-локальные и локальные
предельные теоремы для сумм одинаково распределенных случайных
величин с конечной дисперсией |
|
|
7.1. |
Интегро-локальные теоремы |
|
|
7.2. |
Локальные теоремы |
|
|
7.3. |
Доказательство теоремы 7.1 в общем
случае |
|
|
7.4. |
Равномерные версии теорем 7.1--7.3 для
случайных величин, зависящих от параметра |
|
§ 8. |
Сходимость к другим
предельным законам |
|
|
8.1. |
Интегральная теорема |
|
|
8.2. |
Интегро-локальные и локальные
теоремы |
|
|
8.3. |
Пример |
Глава
9. |
Вероятности больших уклонений
сумм независимых случайных величин |
|
§ 1. |
Преобразования Лапласа
и Крамера. Функция уклонений |
|
|
1.1. |
Условие Крамера. Преобразования Лапласа
и Крамера |
|
|
1.2. |
Функция уклонений |
|
§ 2. |
Связь вероятностей больших
уклонений для сумм случайных величин и для сумм
преобразований Крамера над ними. Вероятностный смысл функции
уклонений |
|
|
2.1. |
Связь вероятностей больших уклонений для
сумм случайных величин и для сумм преобразований Крамера
над ними |
|
|
2.2. |
Вероятностный смысл функции
уклонений |
|
|
2.3. |
Принцип больших уклонений |
|
§ 3. |
Интегро-локальные, интегральные
и локальные теоремы о вероятностях больших уклонений
в крамеровской области |
|
|
3.1. |
Интегро-локальные и интегральные
теоремы |
|
|
3.2. |
Локальные теоремы |
|
§ 4. |
Интегро-локальные теоремы
на границе крамеровской области |
|
|
4.1. |
Введение |
|
|
4.2. |
Вероятности больших
уклонений Sn, расположенных
в o(n)-окрестности точки alpha + n;
случай psi''(lambda+) < oo |
|
|
4.3.Класс распределений ER. Вероятность больших уклонений Sn в o(n)-окрестности точки alpha
+ n для распределений F
из класса ER в случае psi''(lambda+) =
oo |
|
|
4.4. |
О вероятностях больших уклонений
в области alpha > alpha+ для распределений
из класса ER |
|
§ 5. |
Интегральные
и интегро-локальные теоремы о вероятностях больших
уклонений сумм Sn, когда условие
Крамера не выполнено |
|
|
5.1. |
Интегральные теоремы |
|
|
5.2. |
Интегро-локальные теоремы |
|
§ 6. |
Интегро-локальные теоремы
о вероятностях больших
уклонений Sn вне крамеровской зоны
(при выполненном условии Крамера) |
Глава
10. |
Процессы
восстановления |
|
§ 1. |
Процессы восстановления, функции
восстановления |
|
|
1.1. |
Введение |
|
|
1.2. |
Интегральная теорема восстановления
для разнораспределенных слагаемых |
|
§ 2. |
Основная теорема восстановления
в арифметическом случае |
|
§ 3. |
Эксцесс и дефект случайного
блуждания. Предельное распределение в арифметическом
случае |
|
§ 4. |
Теорема восстановления
и предельное распределение эксцесса и дефекта
в неарифметическом случае |
|
§ 5. |
Закон больших чисел
и центральная предельная теорема для процесса
восстановления |
|
|
5.1. |
Закон больших чисел |
|
|
5.2. |
Центральная предельная теорема |
|
|
5.3. |
Теорема о конечности нижней грани
последовательных сумм |
|
|
5.4. |
Стохастические неравенства. Закон больших
чисел и центральная предельная теорема для максимума сумм
разнозначных разнораспределенных случайных величин |
|
|
5.5. |
Распространение теорем 5.1, 5.2
на разнозначные случайные величины |
|
|
5.6. |
Локальная предельная теорема |
|
§ 6. |
Обобщенные процессы
восстановления |
|
|
6.1. |
Определение и некоторые
свойства |
|
|
6.2. |
Центральная предельная теорема |
|
|
6.3. |
Интегро-локальная теорема |
Глава
11. |
Свойства траекторий случайных
блужданий. Законы нуля и единицы |
|
§ 1. |
Законы нуля и единицы.
Верхние и нижние функции |
|
|
1.1. |
Законы нуля и единицы |
|
|
1.2. |
Верхняя и нижняя функции |
|
§ 2. |
Сходимость рядов независимых
случайных величин |
|
§ 3. |
Усиленный закон больших
чисел |
|
§ 4. |
Усиленный закон больших чисел
для произвольных независимых слагаемых |
|
§ 5. |
Усиленный закон больших чисел для
обобщенных процессов восстановления |
|
|
5.1. |
Усиленный закон больших чисел для процессов
восстановления |
|
|
5.2. |
Усиленный закон больших чисел для обобщенных
процессов восстановления |
Глава
12. |
Случайные блуждания
и факторизационные тождества |
|
§ 1. |
Факторизационные
тождества |
|
|
1.1. |
Факторизация |
|
|
1.2. |
Каноническая факторизация функции
fz(lambda) = 1 - z x
phi(lambda) |
|
|
1.3. |
Второе факторизационное
тождество |
|
§ 2. |
Некоторые следствия теорем
1.1--1.3 |
|
|
2.1. |
Прямые следствия |
|
|
2.2. |
Обобщение усиленного закона больших
чисел |
|
§ 3.Тождество Поллачека--Спитцера. Тождество для величины S
= supSk,k>=0 |
|
|
3.1. |
Тождество Поллачека--Спитцера S =
supSk,k>=0 |
|
|
3.2.Тождество для величин |
|
§ 4. |
Распределение S
в задачах страхования и систем обслуживания |
|
|
4.1. |
Случайные блуждания, возникающие
в задачах страхования |
|
|
4.2. |
Системы обслуживания |
|
|
4.3. |
Стохастические модели с непрерывным
временем |
|
§ 5. |
Случаи, когда компоненты
факторизации могут быть найдены в явном виде.
Нерешетчатый случай |
|
|
5.1. |
Предварительные замечания
о единственности факторизации |
|
|
5.2. |
Классы распределений на положительной
полуоси, имеющие рациональные х.ф. |
|
|
5.3.Явная каноническая факторизация функции frak(lambda)
в случае, когда правый хвост распределения F есть
экспоненциальный полином |
|
|
5.4.Явная факторизация функции frak(lambda),
когда левый хвост распределения F есть
экспоненциальный полином |
|
|
5.5. |
Явная каноническая факторизация функции
frak0(lambda) |
|
§ 6. |
Факторизация в явном виде
в арифметическом случае |
|
|
6.1. |
Предварительные замечания
о единственности факторизации |
|
|
6.2. |
Классы распределений на положительной
полуоси, имеющие рациональные производящие функции |
|
|
6.3.Явная каноническая факторизация функции frak(z)
в случае, когда правый хвост распределения F
является экспоненциальным полиномом |
|
|
6.4.Явная каноническая факторизация функции frak(z),
когда левый хвост распределения F является
экспоненциальным полиномом |
|
|
6.5. |
Явная факторизация функции
frak0(z). |
|
§ 7. |
Асимптотические свойства
распределений chi+-, S |
|
|
7.1.Асимптотика P(chi+
>x | nu+ < oo), P(chi0- < -x)
в случае Exi =< 0 |
|
|
7.2.Асимптотика P(S >
x) |
|
|
7.3. |
Распределение максимальных значений
обобщенных процессов восстановления |
|
§ 8. |
О распределении времен
первого прохождения |
|
|
8.1. |
Свойства распределений времен
eta+- |
|
|
8.2. |
Распределение времени первого прохождения
произвольного уровня x для арифметических
блужданий, непрерывных сверху |
Глава
13. |
Последовательности зависимых
испытаний. Цепи Маркова |
|
§ 1. |
Счетные цепи Маркова. Определения
и примеры. Классификация состояний |
|
|
1.1. |
Определения и примеры |
|
|
1.2. |
Классификация состояний |
|
§ 2. |
Необходимые и достаточные условия
возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний
неразложимой цепи, структура цепи в периодическом
случае |
|
§ 3. |
Теоремы о случайных
блужданиях на решетке |
|
|
3.1. |
Случайное блуждание по целым точкам
на прямой |
|
|
3.2. |
Симметричные случайные блуждания
в Rk, k >= 2 |
|
|
3.3. |
Произвольное симметричное случайное
блуждание на прямой |
|
§ 4. |
Предельные теоремы для счетных
однородных цепей |
|
|
4.1. |
Эргодические теоремы |
|
|
4.2. |
Закон больших чисел и центральная
предельная теорема для числа попаданий в заданное
состояние |
|
§ 5. |
Поведение переходных вероятностей
для разложимых цепей |
|
§ 6. |
Цепи
Маркова с произвольным множеством состояний.
Эргодичность цепей, имеющих
положительный атом |
|
|
6.1. |
Цепи
Маркова с произвольным множеством
состояний |
|
|
6.2. |
Цепи Маркова, имеющие
положительный атом |
|
§ 7. |
Эргодичность
харрисовых цепей Маркова |
|
|
7.1. |
Эргодическая теорема |
|
|
7.2. |
Об условиях (I), (II) |
|
§ 8. |
Законы больших чисел
и центральная предельная теорема для сумм случайных
величин, заданных на цепи Маркова |
|
|
8.1. |
Случайные величины на цепи
Маркова |
|
|
8.2. |
Законы больших чисел |
|
|
8.3. |
Центральная предельная теорема |
Глава
14. |
Информация
и энтропия |
|
§ 1. |
Определения, свойства информации
и энтропии |
|
§ 2. |
Энтропия конечной цепи Маркова.
Теорема об асимптотическом поведении информации
длинного сообщения, ее приложения |
|
|
2.1. |
Энтропия последовательности испытаний,
связанных в стационарную цепь Маркова |
|
|
2.2. |
Закон больших чисел для количества
информации, содержащейся в сообщении |
|
|
2.3. |
Асимптотическое поведение числа наиболее
вероятных исходов в последовательности
испытаний |
Глава
15. |
Мартингалы |
|
§ 1. |
Определения, простейшие свойства,
примеры |
|
§ 2. |
О сохранении свойства быть
мартингалом
при замене времени на случайное.
Тождество Вальда |
|
§ 3. |
Неравенства |
|
|
3.1. |
Неравенства для мартингалов |
|
|
3.2. |
Неравенство для числа пересечений
полосы |
|
§ 4. |
Теоремы сходимости |
|
§ 5. |
Ограниченность моментов
стохастических последовательностей |
Глава
16. |
Стационарные (в узком
смысле) последовательности |
|
§ 1. |
Основные понятия |
|
§ 2. |
Свойства эргодичности
(метрической транзитивности),
перемешивания и слабой зависимости |
|
§ 3. |
Эргодическая теорема |
Глава
17. |
Стохастически рекурсивные
последовательности |
|
§ 1. |
Основные понятия |
|
§ 2. |
Эргодичность при наличии
обновляющих событий.
Условия ограниченности |
|
|
2.1. |
Эргодичность с.р.п. |
|
|
2.2. |
Ограниченность случайных
последовательностей |
|
§ 3. |
Условия эргодичности,
связанные с монотонностью f |
|
§ 4. |
Условия эргодичности для сжимающих
в среднем преобразований, удовлетворяющих условию
Липшица |
Глава
18. |
Случайные процессы
с непрерывным временем |
|
§ 1. |
Общие определения |
|
§ 2. |
Условия регулярности
процессов |
Глава
19. |
Процессы с независимыми
приращениями |
|
§ 1. |
Общие свойства |
|
§ 2. |
Винеровские процессы, свойства
траекторий и времени первого прохождения
уровня |
|
§ 3. |
Законы повторного
логарифма |
|
§ 4. |
Пуассоновские процессы |
|
§ 5. |
Описание распределений
всего класса процессов
с независимыми приращениями |
Глава
20. |
Функциональные
предельные теоремы |
|
§ 1. |
Сходимость к винеровскому
процессу (принцип инвариантности) |
|
§ 2. |
Закон повторного
логарифма |
|
§ 3. |
Сходимость к пуассоновскому
процессу |
|
|
3.1. |
Сходимость процессов
накопленных сумм |
|
|
3.2. |
Сходимость сумм редеющих процессов
восстановления |
Глава
21. |
Марковские процессы
и некоторые их обобщения |
|
§ 1. |
Определения и общие свойства
марковских процессов |
|
|
1.1. |
Определения и общие
свойства |
|
|
1.2. |
Переходная вероятность |
|
§ 2. |
Марковские процессы
со счетным множеством состояний. Примеры |
|
|
2.1. |
Основные свойства процесса |
|
|
2.2. |
Примеры |
|
§ 3. |
Ветвящиеся процессы |
|
§ 4. |
Полумарковские
процессы |
|
|
4.1. |
Полумарковские процессы
на состояниях цепи |
|
|
4.2. |
Эргодическая теорема |
|
|
4.3. |
Полумарковские процессы
на переходах цепи |
|
§ 5. |
Регенерирующие
процессы |
|
|
5.1. |
Регенерирующие процессы. Эргодическая
теорема |
|
|
5.2. |
Законы больших чисел и центральная
предельная теорема для интегралов от регенерирующих
процессов |
|
§ 6. |
Диффузионные процессы |
Глава
22. |
Процессы
с конечными моментами второго порядка,
гауссовские процессы |
|
§ 1. |
Процессы с конечными
моментами второго порядка |
|
§ 2. |
Гауссовские процессы |
|
§ 3. |
Задача о прогнозе |
Приложение
1. |
Теорема о продолжении
вероятностной меры |
Приложение
2. |
Теорема Колмогорова
о согласованных распределениях |
Приложение
3. |
Элементы теории меры
и интеграла |
|
§ 1. |
Пространство с мерой |
|
§ 2. |
Интеграл
по вероятностной мере |
|
|
2.1. |
Интегралы от простых
функций |
|
|
2.2. |
Определение интегралов от произвольных
функций |
|
|
2.3. |
Свойства интегралов |
|
§ 3. |
Дальнейшие свойства
интегралов |
|
|
3.1. |
Теоремы сходимости |
|
|
3.2. |
Связь с интегрированием по мере
на прямой |
|
|
3.3. |
Произведения мер и повторные
интегралы |
|
§ 4. |
Интеграл
по произвольной мере |
|
§ 5. |
Теорема Лебега о разложении
и теорема Радона--Никодима |
|
§ 6. |
Слабая сходимость
и сходимость по вариации
распределений в произвольных пространствах |
|
|
6.1. |
Слабая сходимость |
|
|
6.2. |
Сходимость по вариации |
Приложение
4. |
Теоремы Хелли
и Арцела--Асколи |
Приложение
5. |
Доказательство теоремы
Берри--Эссена |
Приложение
6. |
Основные свойства правильно
меняющихся функций и субэкспоненциальных
распределений |
|
§ 1. |
Общие свойства правильно
меняющихся функций |
|
§ 2. |
Основные асимптотические
свойства |
|
§ 3. |
Асимптотические свойства
преобразований над п.м.ф. (теоремы
абелева типа) |
|
§ 4. |
Субэкспоненциальные распределения
и их свойства |
Приложение
7. |
Доказательство теорем
о сходимости к устойчивым законам |
|
§ 1. |
Интегральная теорема |
|
§ 2. |
Интегро-локальные и локальные
теоремы |
Приложение
8. |
Оценки сверху и снизу для
распределений сумм и максимума сумм независимых случайных
величин |
|
§ 1. |
Оценки сверху при выполнении
условия Крамера |
|
§ 2. |
Оценки сверху при невыполнении
условия Крамера |
|
§ 3. |
Оценки снизу |
Приложение
9. |
Теоремы
восстановления |
Литература |
Список основных
обозначений |
Предметный
указатель |