en   ua   ru   🔍

П А Р А Д О К С И


Тут будуть розміщені деякі парадокси (переважно з теорії ймовірностей та математичної статистики), "парадоксальність" яких (хоча і не всіх) вже давно розкрито і пояснено, але для тих, хто лише починає вивчати теорію ймовірностей, цікаво буде спробувати свої сили. На цій сторінці будуть розміщені лише ті парадокси, які мають досить просте формулювання (і тим більш парадоксальними вони виглядають), а для тих, хто зацікавиться, можу порекомендувати книжку Г. Секей "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" (М. 1990). Зауважу лише, що далеко не всі викладені на цій сторінці парадокси є в книжці.

Парадокс з кулькою: (Тут і далі pi=3,1415926535897932384626433832795) На заводі виготовляють кульки для підшипників. Ці кульки випускаються різних радіусів - від 2 мм до 100 мм (тобто об'ємами від 32pi/3 до 4000000pi/3 мм3). Вважаючи всі чисельні значення рівноможливими, доходимо висновку, що середній радіус кульки складе 51 мм ( =(2+100)/2 ), а середній об'єм - 2000016pi/3 мм3 ( =(32pi/3+4000000pi/3)/2 ). Тільки дивна виходить ця усереднена кулька: її радіус 51 мм, а об'єм 2000016pi/3 мм3 (хоча при радіусі в 51 мм об'єм має складати 530604pi/3 мм3). Парадокс...

Наївний парадокс про гральний кубик: при киданні грального кубика шістка або випадає, або не випадає, тому ймовірність як першої так і другої події = 1/2, хоча, начебто, ймовірність появи кожної грані =1/6. Парадокс...

Парадокс про гральні кубики: для того, щоб на двох гральних кубиках випало в сумі 11, треба, щоб на одному з них випало 5, а на іншому - 6 (тільки така комбінація). Для того, щоб на двох гральних кубиках випало в сумі 12, треба, щоб на одному випало 6 і на другому 6 (тільки така комбінація). Чому ж 11 випадає частіше за 12? Парадокс...

Парадокс про мишу і котів: Коли людина не знає, чи відбудеться та чи інша подія, а "аргументів" як "за" так і "проти" порівну (тобто схильність до кожного з висновків однакова), інтуїтивно події приписується ймовірність 1/2. Справді, при підкиданні монети герб може випасти з таким же успіхом, як і не випасти, тому ймовірність випадання герба = 1/2 ...
    Нехай в хаті живе миша і два кота. Кожного дня миша або буде впіймана, або ні, тому вважаємо, що ймовірність того, що сьогодні мишу буде упіймано, = 1/2. Перший кіт може упіймати сьогодні мишу, а може і не упіймати, тому ймовірність того, що перший кіт упіймає сьогодні мишу, = 1/2. Другий кіт може упіймати сьогодні мишу, а може і не упіймати, тому ймовірність того, що другий кіт упіймає сьогодні мишу, = 1/2. Для того, щоб миша сьогодні не була упіймана, необхідно і достатньо, щоб жоден з котів її не упіймав, ймовірність чого = 1/2 * 1/2 = 1/4, тому ймовірність того, що сьогодні мишу буде упіймано = 1 - 1/4 = 3/4, що суперечить початковому твердженню. Парадокс...

Парадокс про вигідну гру (є над чим подумати !!!) : Хлопці... так... ви, двоє, хочете зіграти в таку гру: кожен з вас викладає на стіл свій гаманець і той, у чиєму гаманці виявиться більше грошей, забере і свій гаманець, і гаманець противника. То що граєте?
Микола: програти я можу всі свої гроші, а якщо і виграю у Петра, то менше, ніж можу програти, тому для мене ця гра не є справедливою.
Петро: програти я можу всі свої гроші, а якщо і виграю у Миколи, то менше, ніж можу програти, тому для мене ця гра не є справедливою.
Але хіба гра може бути несправедливою для обох гравців відразу? Наче, ні... Парадокс...
Відмітимо, що вперше (?) цей парадокс хоча і в іншому варіанті зустрічається в книзі французького математика Моріса Крайчика "Математичні розваги", і хоча формальне пояснення там є, а от простого пояснення цього парадокса так досі і не було, можливо Ви зможете не тільки розібратися в ньому, а й сформулювати пояснення таким чином, щоб воно було досить простим і прозорим ...

Парадокс в'язня: Одного з трьох в'язнів мають вранці стратити, але невідомо, кого саме. Кожен в'язень оцінює свою ймовірність бути страченим як 1/3 (бо є всього 3 претенденти на страту і їх шанси однакові). Один з в'язнів (А) дізнається, що його сусіда по камері (В) точно не стратять, після чого в'язень А починає оцінювати свою ймовірність бути страченим як 1/2 (бо залишилось всього 2 претендента на страту). Але ж А і так знав, що одного з його сусідів точно не стратять, причому йому було байдуже, кого саме не стратять. Що ж змінилося, коли він дізнався, кого саме не стратять? Чому ж тепер ймовірність для А бути страченим зросла? Парадокс...

Парадокс про гравця: Гравцеві пропонується зробити ставку на шістку на гральному кубику, що не задовольняє гравця, бо ймовірність випадання шістки лише 1/6. Тоді гравцеві пропонується зробити ставку на те, що шістка випаде хоч на одному з трьох гральних кубиків, які кидаються одразу, і гравець погоджується, вважаючи, що тепер гра справедлива (тобто, що тепер ймовірність виграшу = 3 * 1/6 = 1/2), але чомусь гравець все одно частіше програє ніж виграє. Парадокс...

Парадокс про шахрая: Перехожий погодився зіграти у наперсток, але розуміючи, що навіть при чесній грі його шанси на виграш лише 1/3, робить невелику ставку і вказує після перетасовок на певний наперсток. Ведучий розкриває один з неназваних (порожній) наперсток, пропонує гравцю збільшити ставку, бо тепер і шанси виграти зросли. І гравець погоджується... Парадокс... Хоча ні, не парадокс, а чисте шахрайство.

Парадокс про кульки: Хлопчик і дівчинка кидають кульки. Виграє той, чия кулька опиниться ближче до увіткнутої в землю палички. У хлопчика одна кулька (А), а у дівчинки - дві (В та С). Яка ймовірність того, що виграє дівчинка, якщо обоє гравців мають однакову майстерність? Розглянемо всі можливі варіанти взаємного розташування кульок після кидка:

  • В та С ближче до палички, ніж А (виграє дівчинка);
  • В та С далі від палички, ніж А (виграє хлопчик);
  • В ближче до палички, ніж А, а С далі від палички ніж А (виграє дівчинка);
  • С ближче до палички, ніж А, а В далі від палички ніж А (виграє дівчинка).
Оскільки лише в одному з цих чотирьох випадків виграє хлопчик, то ймовірність його виграшу складає 1/4, хоча, якщо взяти до уваги, що у хлопчика одна кулька, а у дівчинки - дві, ймовірність того, що виграє дівчинка має бути вдвічі більша від ймовірності того, що виграє хлопчик, тобто ймовірність виграшу хлопчика має бути 1/3, а дівчинки -2/3. Парадокс...

Парадокс про конверти-1: Переможцю капітал-шоу пропонують на вибір два конверти (А та В) з грошима, причому відомо, що в одному конверті грошей вдвічі більше, ніж в іншому (але невідомо, в якому). Гравець вже хотів узяти конверт А, але подумав: якщо в конверті А грошей X, то в конверті В або 2Х грошей, або Х/2, тобто в конверті В в середньому 2Х * 1/2 + (Х/2) * 1/2 = 5Х/4, що більше ніж Х (!) в конверті А, і гравець хоче вже взяти конверт В, але потім застосувавши ті ж міркування для конверта А, схиляється до думки, що треба взяти конверт А і т.д. Парадокс...

Парадокс про конверти-2: Переможцю капітал-шоу пропонують на вибір три конверти (А, В та С), в одному з яких гроші, а в двох інших - нічого. Гравець обирає конверт А. Потім ведучий відкриває конверт С і показує, що в конверті С порожньо, а у гравця питає, чи не хоче він змінити свій вибір і обрати конверт В. З першої точки зору в двох конвертах, що залишилися, гроші можуть бути з однаковою ймовірністю (1/2); з другої точки зору конверт А обирався як один з трьох, а конверт В можна зараз обрати як один з двох, тому ймовірність того, що гроші в конверті А складає 1/3, а ймовірність того, що гроші в конверті В складає 1/2; з третьої точки зору попереднє твердження є підозрілим, бо сума вказаних ймовірностей не дорівнює одиниці. Парадокс...

Парадокс про 2 кульки: В скриньці є 4 кулі: 1 біла й 3 кольору неба безхмарного літнього ранку. Одну за одною дістають 3 кульки. Очевидно, що ймовірність кожної з кульок бути білою є 1/4, а ймовірність того, що серед трьох витягнутих куль буде 2 білі, за відомою формулою

cnk.gif, 354 bytes

складе

rez.gif, 566 bytes

хоча, здається, 2 білі кульки витягти неможливо, бо їх там всього одна. Виходить, що маємо неможливу подію з ненульовою ймовірністю. Парадокс...

"Чорно-білий" парадокс: В скриньці є 2 кулі, кожна з яких з однаковою ймовірністю може бути білою або чорною. Відомо, що одна з кульок справді є білою. Знайдемо ймовірність того, що обидві кульки білі. Подія А={обидві кульки білі}={друга кулька теж біла} і P(A) = 1/2, бо для другої кульки є два рівноможливих (за умовою) варіанти (бути білою чи чорною). З іншого боку, враховуючи, що одна з кульок біла, маємо простір елементарних подій: W={ЧБ, БЧ, ББ}, тому P(A)= P(ББ) = 1/3. Парадокс...

Парадокс-анекдот: У одного чоловіка запитали, чи не боїться він літати літаком через високу ймовірність терористичного акту, на що він відповів: "Так, ймовірність того, що в літаку опиниться терорист з бомбою, дуже висока, але ймовірність того, що в літаку опиняться два терориста з бомбами, надзвичайно мала, тому я просто кожного разу беру з собою в літак ... БОМБУ і почуваюся досить комфортно, бо ймовірність того, що в літаку опиниться ще один терорист, як я вже сказав, надзвичайно мала." І міркування пасажира досить логічні, і чомусь ніхто так не бореться з тероризмом... Парадокс.

Парадокс та загадка нескінченності За хвилину до полудня покладемо 10 куль у коробку та одразу випадково витягнемо одну куля назад. За 1/2 хвилини до полудня покладемо ще 10 куль у коробку та образу випадково витягнемо одну кулю назад. Повторимо те саме за 1/4 , 1/8, … хвилини до полудня. Питання полягає ось у чому: "Скільки куль лишиться у коробці опівдні?"
Аби краще зрозуміти суть проблеми, занумеруємо кулі числами 1, 2, 3, …, n, …, і будемо класти до коробки у цьому порядку. Припустимо, що на кожному кроці ми витягаємо кулю невипадково. Натомість, витягнемо n-у кулю на n-му кроці. Тоді до полудня ми витягнемо кулі з такими номерами:

1, 2, 3, …, n, …

У цьому випадку опівдні у коробці не залишиться жодної кулі. Можна витягати кулі з коробки в іншому порядку, наприклад,
         2, 3, 4, …, n + 1, …
         10, 11, 12, …, n + 9, …
         1, 3, 5, …, 2n - 1, …
Залишаючи 1, 9 та нескінченну кількість куль опівдні відповідно.
Повернімось до початкової ситуації, тобто на кожному кроці будемо витягати кулю з коробки випадковим чином. Якою тоді буде відповідь на питання? Можна довести, що

"З ймовірністю 1 опівдні коробка буде порожньою".

У цьому і є парадокс. На кожному кроці кількість куль у коробці збільшується на 9. Яким чином опівдні коробка може стати порожньою? У цьому загадка нескінченності.

Парадокс при тестуванні Яка ймовірність дати правильну відповідь на це запитання тесту, обираючи варіант відповіді навмання?
  A) 25%       C) 80%
  B) 50%       D) 25%


Шарапов М.М. 2007-2018