Моделі природного руху населення
Задача 5.1 Нехай на кожному кроці кожна доросла пара кроликів або народжує в середньому µ пар молодих, або гине з ймовірністю p (не залишивши потомства), а кожна молода пара стає дорослою. Виписати матрицю Леслі і рекурентну формулу. Знайти середню кількість пар дорослих кроликів у будь-який момент часу t, якщо в початковий момент є одна пара дорослих кроликів для наступних значень параметрів:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) , .
При яких початкових умовах середня кількість пар кроликів змінюється строго в геометричній прогресії? При яких значеннях параметрів вона прямує до скінченної ненульової границі?
Задача 5.2 Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з однією статтю в припущенні, що фертильність і сила смертності не залежать від часу, а початкова умова невизначена. Знайти умову росту населення.
Вказівка: розв’язок шукати у вигляді ; виразити функцію доживання через силу смертності.
Задача 5.3 Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2 при , , і природному прирості: а) +1%; б) 1% (в рік).
Задача 5.4 Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з двома статями в припущенні, що фертильність і сила смертності для обох статей не залежать від часу. Знайти умову росту населення. Вказівка: розв’язок шукати у вигляді , .
Задача 5.5 Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2, якщо:
а) , б); , .
Задача 5.6 За даними таблиці оцінити:
а) ймовірності народження хлопчиків та дівчаток;
б) в якому віці частки чоловіків та жінок вирівнюються.
Вік |
Чоловіки (тис.) |
Жінки (тис.) |
Все населення (тис.) |
< 1 |
624 |
589 |
1213 |
0-4 |
3289 |
3121 |
6410 |
5-9 |
4239 |
4025 |
8264 |
10-14 |
6082 |
5848 |
11930 |
15-19 |
5970 |
5800 |
11770 |
20-24 |
5422 |
5317 |
10739 |
25-29 |
5238 |
4972 |
10210 |
30-34 |
4804 |
4690 |
9494 |
35-39 |
5905 |
5975 |
11880 |
40-44 |
6121 |
6396 |
12517 |
45-49 |
5397 |
5885 |
11282 |
50-54 |
3893 |
4472 |
8365 |
55-59 |
2523 |
3264 |
5787 |
60-64 |
3621 |
5094 |
8715 |
65-69 |
2317 |
3757 |
6071 |
70-74 |
2034 |
4088 |
6122 |
75-79 |
744 |
2326 |
3070 |
80-84 |
335 |
1209 |
1544 |
>85 |
266 |
1121 |
1387 |
Задача 5.7 За даними таблиці із задачі 5.6 знайти локальні максимуми та мінімуми (всього населення), з відповідними роками народження.
Задача 5.8 Оцінити очікувану кількість народжень за даними таблиці із задачі 5.6 і за віковими коефіцієнтами народжуваності кількостями народжених на 1000 жінок даного віку (народжуваність вважаємо постійною):
Вік |
15-19 |
20-24 |
25-29 |
30-34 |
35-39 |
40-44 |
45-49 |
К-т |
29,5 |
93,1 |
65,2 |
32,7 |
11,3 |
2,2 |
0,1 |
Задача 5.9 Оцінити очікувану кількість смертей за даними таблиць із задач 5.6 і наступною таблицею кількості тих, хто доживає до даного віку із 100000 народжених:
Вік |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
Всі |
100000 |
97904 |
97664 |
97395 |
96671 |
95353 |
93805 |
91931 |
89548 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вік |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
Всі |
86373 |
82041 |
76576 |
69663 |
60874 |
50152 |
37877 |
25116 |
13705 |
(смертність вважаємо постійною).
Задача 5.10 Нехай в моделі з однією статтю є стабільне населення із природнім приростом 1% (в рік), народжуваністю за моделлю У. Брасса з середнім віком матерів (років) і функцією розподілу часу життя . Підрахувати репродуктивний потенціал у віці: а) 20 років; б) 30 років; в) 40 років.