Моделі природного руху населення

 

Задача 5.1     Нехай на кожному кроці кожна доросла пара кроликів або народжує в середньому µ  пар молодих, або гине з ймовірністю p (не залишивши потомства), а кожна молода пара стає дорослою. Виписати матрицю Леслі і рекурентну формулу. Знайти середню кількість пар дорослих кроликів у будь-який момент часу t, якщо в початковий момент  є одна пара дорослих кроликів для наступних значень параметрів:

а)      , ;

б)      , ;

в)      , ;

г)       , ;

д)      , .

При яких початкових умовах середня кількість пар кроликів змінюється строго в геометричній прогресії?  При яких значеннях параметрів вона прямує до скінченної ненульової границі?

 

Задача 5.2     Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з однією статтю в припущенні, що фертильність і сила смертності не залежать від часу, а початкова умова невизначена. Знайти умову росту населення.

Вказівка: розв’язок шукати у вигляді ; виразити функцію доживання через силу смертності.

 

Задача 5.3     Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2 при , , і природному прирості:  а) +1%;  б) 1% (в рік).

 

Задача 5.4     Знайти стабільне населення в моделі вільного руху з двома статями в припущенні, що фертильність і сила смертності для обох статей не залежать від часу. Знайти умову росту населення. Вказівка: розв’язок шукати у вигляді , .

 

Задача 5.5     Знайти середній вік стабільного населення в задачі 5.2, якщо:
а)
,  б);     , .

 

Задача 5.6     За даними таблиці оцінити:

а) ймовірності народження хлопчиків та дівчаток;

б) в якому віці частки чоловіків та жінок вирівнюються.

Вік

Чоловіки

(тис.)

Жінки

(тис.)

Все населення

(тис.)

< 1

624

589

1213

0-4

3289

3121

6410

5-9

4239

4025

8264

10-14

6082

5848

11930

15-19

5970

5800

11770

20-24

5422

5317

10739

25-29

5238

4972

10210

30-34

4804

4690

9494

35-39

5905

5975

11880

40-44

6121

6396

12517

45-49

5397

5885

11282

50-54

3893

4472

8365

55-59

2523

3264

5787

60-64

3621

5094

8715

65-69

2317

3757

6071

70-74

2034

4088

6122

75-79

744

2326

3070

80-84

335

1209

1544

>85

266

1121

1387

 

Задача 5.7   За даними таблиці із задачі 5.6  знайти локальні максимуми та мінімуми (всього населення), з відповідними роками народження.

 

Задача 5.8   Оцінити очікувану кількість народжень за даними таблиці із задачі 5.6 і за віковими коефіцієнтами народжуваності  кількостями народжених на 1000 жінок даного віку (народжуваність вважаємо постійною):

Вік

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

К-т

29,5

93,1

65,2

32,7

11,3

2,2

0,1

 

Задача 5.9   Оцінити очікувану кількість смертей за даними таблиць із задач 5.6 і наступною таблицею кількості тих, хто доживає до даного віку із 100000 народжених:

Вік

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Всі

100000

97904

97664

97395

96671

95353

93805

91931

89548

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вік

45

50

55

60

65

70

75

80

85

Всі

86373

82041

76576

69663

60874

50152

37877

25116

13705

(смертність вважаємо постійною).

 

Задача 5.10   Нехай в моделі з однією статтю є стабільне населення із природнім приростом 1% (в рік), народжуваністю за моделлю У. Брасса з середнім віком матерів  (років) і функцією розподілу часу життя . Підрахувати репродуктивний потенціал у віці: а) 20 років; б) 30 років; в) 40 років.