Моделі смертності
Задача 2.1. Знайти функцію доживання і середню тривалість майбутнього життя в наступних моделях смертності (при ):
а) , б) ( ).
Задача 2.2. Нехай , , і середня тривалість життя 60 років. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці у років, якщо:
а) , ,
б) , .
Задача 2.3. Нехай , , . Знайти силу смертності і середню тривалість майбутнього життя. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці у років, якщо:
а) (роки),
б) (років).
Задача 2.4. В моделі смертності Хелігмена-Поларда покладають
.
Нехай , , , , , , , . Знайти силу смертності у віці: а) 40 років, б) 60 років, в) 80 років.
Задача 2.5. За силою смертності (модель Гомпертца-Мейкхема):
а) знайти функцію доживання,
б) знайти , якщо , і .
Задача 2.6. Для трьох груп населення А, В і С є три причини смерті (1, 2 і 3). На групу А діють 1 і 2, на В 1 і 3, на С 2 і 3. Відомі сили смертності за групами і функції доживання , , . Знайти сили смертності за причинами і відповідні їм функції доживання.
Задача 2.7. Нехай в умовах задачі 2.6. ‰, ‰, ‰. Знайти очікувану сумарну смертність груп, де діють всі три причини, якщо вплив першої із них вдасться зменшити на 10%.
Задача 2.8. Отримати наступне диференційне рівняння:
.
Задача 2.9. Довести наступну формулу (в моделі з неперервним часом):
для довільних . Як зміниться ця формула, якщо сила смертності є сталою на інтервалі ? Як виразити через ?
Задача 2.10. Знайти , якщо (років) і сила смертності у віці 20-24 років складає 3‰ (в рік). Який приріст сумарної тривалості життя на цьому віковому відрізку?
Задача 2.11. Оцінити середню тривалість життя чоловіків, жінок і всього населення (з точністю до року), спираючись на наступні табличні дані:
Вік |
Чоловіки |
Жінки |
Всі |
0 |
100000 |
100000 |
100000 |
5 |
97375 |
98049 |
97701 |
10 |
97031 |
97856 |
97131 |
15 |
96732 |
97703 |
97202 |
20 |
96065 |
97406 |
96715 |
25 |
94944 |
97083 |
95981 |
30 |
93598 |
96724 |
95114 |
35 |
91938 |
96247 |
94027 |
40 |
89832 |
95549 |
92604 |
45 |
86912 |
94497 |
90590 |
50 |
82687 |
92921 |
87650 |
55 |
76899 |
90560 |
83524 |
60 |
68906 |
86924 |
77644 |
65 |
58479 |
81118 |
69492 |
70 |
46376 |
72462 |
59027 |
75 |
33977 |
60154 |
46157 |
80 |
19732 |
43461 |
31240 |
85 |
9310 |
24690 |
16769 |
Задача 2.12. Оцінити середню тривалість майбутнього життя для чоловіків, жінок і всього населення у віці 60 років (з точністю до року), спираючись на дані попередньої задачі 2.11.
Задача 2.13. За даними таблиці визначити, в яких вікових групах смертність всього населення зросла більше, ніж на 50%.
Вік |
Вікові коефіцієнти смертності (число загиблих за рік на 1000 осіб відповідного віку) |
|
1988 |
1999 |
|
< 5 |
4,7 |
4,3 |
5-9 |
0,55 |
0,5 |
10-14 |
0,45 |
0,5 |
15-19 |
1 |
1,4 |
20-24 |
1,6 |
2,9 |
25-29 |
1,8 |
3,3 |
30-34 |
2,3 |
4,1 |
35-39 |
3 |
5,3 |
40-44 |
4,1 |
7,3 |
45-49 |
6,7 |
10,3 |
50-54 |
9,1 |
14,2 |
55-59 |
14,4 |
19,8 |
60-64 |
20,1 |
26,7 |
65-69 |
29,3 |
38,2 |
70-74 |
45,6 |
53,1 |
75-79 |
68,9 |
75,3 |
80-84 |
107,2 |
123,5 |
>85 |
178,7 |
208,1 |
Задача 2.14. Дано дві групи населення А і В зі значеннями середньої тривалості життя 60 і 70 років відповідно, причому їхні чисельності відносяться як 6:4. Знайти середню тривалість життя всього населення (яке складається лише з представників цих двох груп). Як вона зміниться, якщо співвідношення чисельностей груп буде 8:2, а середня тривалість життя в кожній групі зросте на 1 рік?
Задача 2.15. За даними таблиці визначити домінуючу причину смертності в кожній віковій групі
Вікові коефіцієнти смертності
(кількість померлих на 100000 чол.)
Вік |
1 захворювання крові |
2 новоутворення |
3 хвороби органів дихання |
4 нещасні випадки, отруєння, травми |
Усього |
0-4 |
2,6 |
8,7 |
246,6 |
51,9 |
664,4 |
5-9 |
1 |
6,4 |
6 |
16,1 |
44,1 |
10-14 |
1,6 |
5,6 |
2,9 |
11,7 |
32,9 |
15-19 |
3,5 |
6,6 |
2,9 |
21,9 |
51,4 |
20-24 |
7,2 |
9,3 |
3,6 |
23,5 |
68,5 |
25-29 |
9,7 |
13,8 |
3,7 |
25,2 |
79,5 |
30-34 |
14,9 |
25,5 |
4,5 |
30,5 |
104,5 |
35-39 |
26,8 |
45,7 |
5,7 |
35,9 |
147,8 |
40-44 |
53,8 |
78,4 |
8,8 |
47 |
229,7 |
45-49 |
99,8 |
124,8 |
12,4 |
52,5 |
339,5 |
50-54 |
202,7 |
181,7 |
22,6 |
57,6 |
535,1 |
55-59 |
371,5 |
276,5 |
36,7 |
60,2 |
842 |
60-64 |
705,3 |
373,3 |
60,1 |
58,5 |
1322,2 |
65-69 |
1327,3 |
478,9 |
105,7 |
64,4 |
2135,6 |
70-74 |
2615 |
599,6 |
193,4 |
79,7 |
3675,8 |
75-79 |
4711,5 |
631,5 |
328,8 |
103,4 |
5993,1 |
80-84 |
7879,8 |
545,4 |
514,7 |
130,2 |
9312,5 |
> 85 |
16489,2 |
477,4 |
1019,3 |
187,1 |
18506 |
Задача 2.16. За даними таблиці задачі 2.11. для чоловіків і жінок знайти ймовірності:
а) дожити до 60 років, перебуваючи у віці 20 років,
б) дожити до 80 років, перебуваючи у віці 60 років.
Задача 2.17. Нехай функції розподілу тривалості життя мають загальний вид , , а середні для чоловіків і жінок складають 60 і 72 роки. Знайти ймовірність того, що із випадково відібраних чоловіка і жінки одного року народження чоловік помре раніше.
Задача 2.18. В моделі смертності У.Браса вважається, що
, ,
де деяка «стандартна» функція розподілу тривалості життя. При , за даними таблиці знайти ймовірності дожити до а) 45, б) 55, в) 65 років.
Вік |
|
5 |
-0,6015 |
10 |
-0,5498 |
15 |
-0,5131 |
20 |
-0,4551 |
25 |
-0,3829 |
30 |
-0,315 |
35 |
-0,2496 |
40 |
-0,1816 |
45 |
-0,1073 |
50 |
-0,0212 |
55 |
0,0821 |
60 |
0,21 |
65 |
0,3721 |
70 |
0,5818 |
75 |
0,8593 |
80 |
1,2375 |
85 |
1,7722 |
90 |
2,5573 |
95 |
3,7424 |
Задача 2.19. У місті з населенням в 0,5 млн. чол. смертність складає 2% в рік. Побудувати 95%-довірчий інтервал для кількості смертей за рік.